Введение 2
1. Описание математической модели 3
2. Приведение системы, описывающей процесс взаимодействия типа “хищник-
жертва”, к безразмерному виду 6
3. Линеаризация безразмерной системы уравнений 11
4. Исследование устойчивости процессов, описываемых моделью 14
5. Выбор численного метода решения дифференциальной задачи типа «хищник-
жертва» 20
6. Вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости разностного метода 26
7. Анализ результатов численных расчетов 29
Заключение 36
Список литературы 37
Приложение 1 38
Приложение 2 40
Приложение 3 41
С развитием компьютерных технологий решать математические задачи стало гораздо легче и быстрее. Вместе с развитием компьютеров развивалось и моделирование. Стало проще моделировать различные физические процессы, в частности, процессы взаимодействия различных популяций. Одной из первых математических моделей, описывающих взаимодействие типа «хищник-жертва» была модель «Лотки - Вольтерра». Данная модель была получена А.Лоткой (1925 г.). Автор использовал эту модель для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже, и независимо от Лотки, аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ, или так называемой математической экологии.
Предположим, что имеются два биологических вида, которые совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве необходимым для жизни одного из видов ресурсом. Этот вид будем называть жертвой. Другой вид - хищник - также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела, и т.д. . Этот вид взаимодействия двух видов и называется взаимодействием типа «хищник-жертва». Данная работа посвящена исследованию взаимодействия такого рода. В качестве жертв выбирались зайцы, а в качестве хищников- волки, обитатели Верхнекетского района Томской области.
В дипломной работе было проведено исследование математической модели
взаимодействия типа «хищник—жертва» с учетом миграционных процессов в одномерном
приближении. Кроме того, были выведены уравнения для одномерного случая из общего
многомерного случая. Соответствующая одномерная система была записана в
безразмерном виде. Был проведен ряд преобразований с указанной системой уравнений:
осуществлена линеаризация системы, исследована устойчивость. Далее была построена
разностная схема для численной реализаций одномерной модели в безразмерном виде.
Также был рассмотрен вопрос устойчивости, аппроксимации и сходимости. Была написана
и отлажена программа на языке программирования высокого уровня «PascalABC».
Полученные результаты были представлены в виде графиков и таблиц. Был проведен
анализ полученных данных и сделаны соответствующие выводы.
