Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 5
1. Постановка задачи 7
1.1. Физическая постановка задачи 7
1.2. Математическая постановка задачи 13
2. Дискретизация и численный метод решения 14
2.1. Построение конечно - разностного аналога 14
2.2. Явная схема 15
2.3. Неявная схема 19
2.4. Порядок аппроксимации 24
2.4.1. Исследование явной схемы 24
2.4.2. Исследование неявной схемы 26
2.5. Вопросы устойчивости 30
2.5.1. Исследование явной схемы 30
2.5.2. Исследование неявной схемы 33
3. Численные эксперименты и верификации 34
3.1 Численные эксперименты и верификация с данными Ansys Fluent 34
3.2. Численное исследование распространения тепла в стальном
барабане в 3D постановке 37
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
Список литературы 42
Приложение 1 44
Приложение 2 48
Исследования процессов теплообмена в настоящее время для таких направлений как химическая технология, металлургия, строительное дело, нефтедобыча и нефтепереработка, машиностроение - в значительной степени базируются на численном и компьютерном моделировании. Это стало возможным благодаря существенному прогрессу в развитии вычислительных методов решения задач для уравнений в частных производных и увеличению мощности современных вычислительных машин.
Для современной науки и техники необходим достоверный прогноз таких процессов, экспериментальное изучение которых в лабораторных или натурных условиях очень сложно и дорого, а в некоторых случаях просто невозможно.
Теплопроводность - молекулярный перенос теплоты, обусловленный разностью температур между различными частями тела. Совершая непр ерывные хаотические движения, молекулы, атомы, электроны и другие микр очастицы, из которых состоят тела, сталкиваются друг с другом, при этом частицы, обладающие большей энергией, передают ее частично частицам с меньшей энергией. Происходит перенос энергии на уровне микротел. Если рассматривать систему частиц, как сплошную среду, то создание математической модели этой среды приведет нас к уравнениям в частных производных. С помощью полученных уравнений и будет описана задача теплопроводности.
Уравнение теплопроводности - это дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка (параболического типа), которое устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в заданной области. Все методы решения дифференциальных уравнений можно условно разбить на аналитические и численные. Аналитические методы подразделяются в свою очередь на точные и приближенные. Точные методы позволяют выразить решение дифференциальных уравнений через элементарные функции (в аналитическом виде). При использовании приближенных методов, решение получается, как предел некоторой последовательности, члены которой выражаются через элементарные функции.
Решение некоторых неоднородных и нелинейных задач теплопроводности получить аналитическими методами не пр едставляется возможным, и специалисты прибегают к использованию численных методов, которые в свою очередь не позволяют найти решение дифференциальных уравнений в аналитической форме, но в отличии от аналитических методов их можно применять к широким классам диффер енциальных уравнений и всем типам краевых задач для них.
Интегрирование дифференциального уравнения теплопроводности в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Чтобы решение дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл его надо подчинить дополнительными условиями однозначности. Эти условия, которые совместно с исходным дифференциальным уравнением однозначно описывают конкретную задачу или протекающий физический процесс в природе или технике, называют условиями однозначности. Условия однозначности включают в себя:
• начальные условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент вр емени;
• геометрические условия, описывающие форму и размеры тела, в котор ом пр отекает пр оцесс;
• физические условия, характеризующие физические свойства тела
(плотность, теплопроводность, температуропроводность, закон
распределения внутренних источников или стоков тепла и др.);
• граничные условия, характеризующие взаимодействие окружающей среды с поверхностью тела.
...
Процессы теплопроводности играют ключевую роль в современном
научно-техническом прогнозировании, особенно в случаях, когда
экспериментальные исследования трудновыполнимы или невозможны.
Основное внимание в данной работе уделено численному решению
двумерного уравнения теплопроводности методом конечных разностей,
которое в совокупности с начальными и граничными условиями, а также
иными условиями однозначности (теплофизические параметры,
геометрические параметры расчетного домена и др.) однозначно описывают
процесс нагрева боковой стенки стального барабана котельной установки,
наполненного горячей водой.
Аппроксимация поставленной дифференциальной задачи в работе
проводилась на основе явной и неявной разностных схем. Выполнено
исследование разностных схем на устойчивость, погрешность
аппроксимации и сеточную сходимость. Разработаны численные
алгоритмыи реализованына языке программирования С++.
С целью верификации полученных результатов расчета было
проведено сравнение данных автора работы с численными данными других
авторов и с численными результатами, полученными с использованием
пакета гидродинамики ANSYS Fluent (ПО прошедшее процедуру
верификации и валидации). Результаты сравнения показали высокий
уровень согласования, что в свою очередь служит подтверждением
работоспособности разработанных численных алгоритмов на основе явной
и неявной схем. Помимо интегральных характеристик, для оценки
распределения температуры в расчетном домене в работе представлены
графики и рисунки с распределением температуры с течением времени.
