МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ СОВМЕСТНОГО ДОСТУПА СО СЛУЧАЙНЫМИ ТРЕБОВАНИЯМИ К НЕНАДЕЖНОМУ РЕСУРСУ
|
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Технический аспект систем совместного доступа со случайными
требованиями к ненадежному ресурсу 7
1.1 Постановка задачи в терминах теории телетрафика 7
1.2 Специальная терминология 8
1.3 Показатели качества обслуживания 9
2 Математическое моделирование систем совместного доступа со
случайными требованиями к ненадежному ресурсу 11
2.1 Постановка задачи 11
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 12
2.3 Матричный метод нахождения распределения вероятностей 15
2.4 Решение системы методом производящих функций 21
2.5 Решение системы методом характеристических функций 25
2.6 Асимптотика первого порядка 29
2.7 Асимптотика второго порядка 32
3 Алгоритмы нахождения численных результатов распределения
вероятностей числа заявок на орбите 39
3.1 Алгоритм нахождения распределения вероятностей с помощью
матричного метода 39
3.2 Алгоритм построения гауссовской аппроксимации 43
4 Численный анализ характеристик системы совместного доступа 47
4.1 Оценка области применимости асимптотического алгоритма 47
4.2 Показатели качества обслуживания 54
4.3 Алгоритм для имитационного моделирования 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 63
1 Технический аспект систем совместного доступа со случайными
требованиями к ненадежному ресурсу 7
1.1 Постановка задачи в терминах теории телетрафика 7
1.2 Специальная терминология 8
1.3 Показатели качества обслуживания 9
2 Математическое моделирование систем совместного доступа со
случайными требованиями к ненадежному ресурсу 11
2.1 Постановка задачи 11
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 12
2.3 Матричный метод нахождения распределения вероятностей 15
2.4 Решение системы методом производящих функций 21
2.5 Решение системы методом характеристических функций 25
2.6 Асимптотика первого порядка 29
2.7 Асимптотика второго порядка 32
3 Алгоритмы нахождения численных результатов распределения
вероятностей числа заявок на орбите 39
3.1 Алгоритм нахождения распределения вероятностей с помощью
матричного метода 39
3.2 Алгоритм построения гауссовской аппроксимации 43
4 Численный анализ характеристик системы совместного доступа 47
4.1 Оценка области применимости асимптотического алгоритма 47
4.2 Показатели качества обслуживания 54
4.3 Алгоритм для имитационного моделирования 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 63
В настоящее время сложно представить человека, который бы не пользовался услугами сетей связи. Каждый из нас в той или иной степени привык применять различные абонентские устройства для передачи информации по мобильной связи и через Интернет. С каждым годом интенсивность пользования услугами линий связи значительно увеличивается, поэтому необходимо обеспечить качественное и быстрое функционирование передачи информации вне зависимости от того где и в каких условиях находится абонент.
В связи со стремительным развитием инфокоммуникационных систем и сетей связи особый интерес для исследования с середины ХХ-ого века представляют системы совместного доступа со случайными требованиями, которые представляют собой системы массового обслуживания (СМО) с повторными вызовами или RQ-системы (Retrial Queueing System). Построение математических и имитационных моделей таких систем позволяет анализировать характеристики работы исследуемой системы связи с целью их оптимизации.
Возникновение моделей RQ-систем, прежде всего, связывают с работами американских ученых Wilkinson R.I. [24] и Cohen J.W. [13] в середине ХХ-го века, работы которых были посвящены практическим задачам, возникающим в телефонных сетях, и описанию влияния эффекта повторных вызовов на производительность технических систем. Первые подходы к математическому описанию RQ-систем были предприняты G. Gosztony [18] и A. Elldin [16].
Наиболее полное и детальное описание RQ-систем M|M|1, M|GI|1, M^M^ и других с пуассоновским входящим потоком, а также разнообразные методы для исследования таких систем и детальное сравнение RQ-систем с их классическими аналогами было отражено в [2, 10, 11, 12]. В качестве математических моделей реальных экономических, технических, информационных систем часто используются различные модели теории массового обслуживания [6].
Объектом исследования являются ситуации, когда имеется ограниченный канальный ресурс для осуществления передачи данных и множество требований на получения услуг связи. Но так как ресурс ограничен и ненадежен, то есть он может выйти из строя и ему потребуется некоторое время на восстановление, стремительный рост генерируемой нагрузки и случайный характер поступления требований приводят к перегрузке на отдельных участках сети, потерям клиентов или задержке в обслуживании, что ведет к ухудшению качества.
В этих условиях, когда возникает временная недоступность ресурса, важным фактором становится повторный запрос на предоставление услуги.
Но нагрузка от потока повторных вызовов, как правило, не учитывается, в результате этого происходит перегрузка сети. Многочисленные поломки и ограниченные возможности ремонта оказывают значительное влияние на производительность системы. Выявление и исследование подобных аспектов поведения на качество работы сети позволит заранее спланировать и подготовить сеть таким образом, чтобы минимизировать время задержек и снизить потери вызовов на ее участках. Вопрос повторных вызовов с ненадежным прибором были изучены, например, в [2, 8].
Когда линия занята обслуживанием заявки или находятся на ремонте, все остальные абоненты пребывают в некотором виртуальном месте (на орбите), а затем через некоторое время снова пытаются захватить прибор.
Все это определяет актуальность создания теоретических основ для построения математических моделей, позволяющих модифицировать, совершенствовать и разрабатывать методы анализа и расчета показателей качества обслуживания в инфокоммуникационных системах и сетях связи.
Целью данной работы является построение и исследование модели системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу.
В соответствии с целью ставятся следующие задачи:
1. построить функциональную модель системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу;
2. построить математическую модель системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу в виде RQ-системы вида M|M| 1 с ненадежным прибором и исследовать её характеристики с помощью методов производящих и характеристических функций;
3. разработать и реализовать численный алгоритм для нахождения распределения вероятностей числа заявок на орбите на основе матричного метода;
4. с использованием метода асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите построить гауссовскую аппроксимацию распределения вероятностей числа заявок на орбите и провести сравнение с допредельным.
5. определить точность предложенной аппроксимации в условии функционирования систем при большой задержки заявок на орбите. Структура работы:
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем работы составляет 65 страниц. Представлено 13 рисунков, 1 таблица и 25 использованной литературы.
В первом разделе рассматривается система совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу в терминах теории телетрафика, вводится необходимая терминология и показатели качества обслуживания. Второй раздел содержит построение математической модели системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу в виде RQ-системы вида M|M|1 с ненадежным прибором и исследование её характеристик с помощью матричного метода, методов производящих и характеристических функций, метода асимптотического анализа. В третьем разделе описаны алгоритмы нахождения численных результатов распределения вероятностей числа заявок на орбите. В четвёртом разделе проводится численный анализ характеристик системы совместного доступа, а также сравнение допредельных и асимптотических результатов. Заключение включает в себя основные выводы по данной работе.
В связи со стремительным развитием инфокоммуникационных систем и сетей связи особый интерес для исследования с середины ХХ-ого века представляют системы совместного доступа со случайными требованиями, которые представляют собой системы массового обслуживания (СМО) с повторными вызовами или RQ-системы (Retrial Queueing System). Построение математических и имитационных моделей таких систем позволяет анализировать характеристики работы исследуемой системы связи с целью их оптимизации.
Возникновение моделей RQ-систем, прежде всего, связывают с работами американских ученых Wilkinson R.I. [24] и Cohen J.W. [13] в середине ХХ-го века, работы которых были посвящены практическим задачам, возникающим в телефонных сетях, и описанию влияния эффекта повторных вызовов на производительность технических систем. Первые подходы к математическому описанию RQ-систем были предприняты G. Gosztony [18] и A. Elldin [16].
Наиболее полное и детальное описание RQ-систем M|M|1, M|GI|1, M^M^ и других с пуассоновским входящим потоком, а также разнообразные методы для исследования таких систем и детальное сравнение RQ-систем с их классическими аналогами было отражено в [2, 10, 11, 12]. В качестве математических моделей реальных экономических, технических, информационных систем часто используются различные модели теории массового обслуживания [6].
Объектом исследования являются ситуации, когда имеется ограниченный канальный ресурс для осуществления передачи данных и множество требований на получения услуг связи. Но так как ресурс ограничен и ненадежен, то есть он может выйти из строя и ему потребуется некоторое время на восстановление, стремительный рост генерируемой нагрузки и случайный характер поступления требований приводят к перегрузке на отдельных участках сети, потерям клиентов или задержке в обслуживании, что ведет к ухудшению качества.
В этих условиях, когда возникает временная недоступность ресурса, важным фактором становится повторный запрос на предоставление услуги.
Но нагрузка от потока повторных вызовов, как правило, не учитывается, в результате этого происходит перегрузка сети. Многочисленные поломки и ограниченные возможности ремонта оказывают значительное влияние на производительность системы. Выявление и исследование подобных аспектов поведения на качество работы сети позволит заранее спланировать и подготовить сеть таким образом, чтобы минимизировать время задержек и снизить потери вызовов на ее участках. Вопрос повторных вызовов с ненадежным прибором были изучены, например, в [2, 8].
Когда линия занята обслуживанием заявки или находятся на ремонте, все остальные абоненты пребывают в некотором виртуальном месте (на орбите), а затем через некоторое время снова пытаются захватить прибор.
Все это определяет актуальность создания теоретических основ для построения математических моделей, позволяющих модифицировать, совершенствовать и разрабатывать методы анализа и расчета показателей качества обслуживания в инфокоммуникационных системах и сетях связи.
Целью данной работы является построение и исследование модели системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу.
В соответствии с целью ставятся следующие задачи:
1. построить функциональную модель системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу;
2. построить математическую модель системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу в виде RQ-системы вида M|M| 1 с ненадежным прибором и исследовать её характеристики с помощью методов производящих и характеристических функций;
3. разработать и реализовать численный алгоритм для нахождения распределения вероятностей числа заявок на орбите на основе матричного метода;
4. с использованием метода асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите построить гауссовскую аппроксимацию распределения вероятностей числа заявок на орбите и провести сравнение с допредельным.
5. определить точность предложенной аппроксимации в условии функционирования систем при большой задержки заявок на орбите. Структура работы:
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем работы составляет 65 страниц. Представлено 13 рисунков, 1 таблица и 25 использованной литературы.
В первом разделе рассматривается система совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу в терминах теории телетрафика, вводится необходимая терминология и показатели качества обслуживания. Второй раздел содержит построение математической модели системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу в виде RQ-системы вида M|M|1 с ненадежным прибором и исследование её характеристик с помощью матричного метода, методов производящих и характеристических функций, метода асимптотического анализа. В третьем разделе описаны алгоритмы нахождения численных результатов распределения вероятностей числа заявок на орбите. В четвёртом разделе проводится численный анализ характеристик системы совместного доступа, а также сравнение допредельных и асимптотических результатов. Заключение включает в себя основные выводы по данной работе.
В данной работе была построена функциональная модель системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу, построена математическая модель системы совместного доступа со случайными требованиями к ненадежному ресурсу в виде RQ-системы вида M|M| 1 с ненадежным прибором и проведено исследование её характеристик с помощью методов производящих и характеристических функций, разработан и реализован численный алгоритм для нахождения распределения вероятностей числа заявок на орбите на основе матричного метода, также с использованием метода асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите была построена гауссовская аппроксимация распределения вероятностей числа заявок на орбите и проведено сравнение с допредельным распределением вероятностей, определена точность предложенной аппроксимации в условии функционирования систем при большой задержки заявок на орбите.
По результатам работы были представлены доклады на двух конференциях:
1. на Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» 28 - 30 мая 2020 г. (диплом I степени)
2. на Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» 26 - 30 мая 2021 г.
Также по результатам работы были опубликованы статьи в материалах конференций:
1. Семашко А. В. Асимптотический анализ RQ-системы с нетерпеливыми заявками и ненадежным прибором / А. В. Семашко, Е. Ю. Данилюк // Молодежь и современные информационные технологии : Сборник 61
трудов XVII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, 17 - 20 февраля 2020 г. / Томский политехнический университет. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2020. - С. 75-76.
2. Рожкова С. Исследование RQ-системы М/М/1 с ненадежным прибором асимптотическим и матричным методами / С. Рожкова, Н. Воронина, А. Семашко // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2020) : материалы XIX Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 2 - 5 декабря 2020 г. - Томск: Изд- во НТЛ, 2021. - С. 244-250.
По результатам работы были представлены доклады на двух конференциях:
1. на Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» 28 - 30 мая 2020 г. (диплом I степени)
2. на Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» 26 - 30 мая 2021 г.
Также по результатам работы были опубликованы статьи в материалах конференций:
1. Семашко А. В. Асимптотический анализ RQ-системы с нетерпеливыми заявками и ненадежным прибором / А. В. Семашко, Е. Ю. Данилюк // Молодежь и современные информационные технологии : Сборник 61
трудов XVII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, 17 - 20 февраля 2020 г. / Томский политехнический университет. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2020. - С. 75-76.
2. Рожкова С. Исследование RQ-системы М/М/1 с ненадежным прибором асимптотическим и матричным методами / С. Рожкова, Н. Воронина, А. Семашко // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2020) : материалы XIX Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 2 - 5 декабря 2020 г. - Томск: Изд- во НТЛ, 2021. - С. 244-250.