ВВЕДЕНИЕ 3
1. ПОНЯТИЕ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ. ПРИМЕРЫ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ 5
1.1. ПОНЯТИЕ КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ 5
1.2. ПРИМЕРЫ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ С АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 5
1.2.1. Множество монотонных функций 6
1.2.2. Множество выпуклых функций 6
1.2.3. Множество функций с ограниченной вариацией 7
2. КОМПАКТНОСТЬ РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИХ ПОДМНОЖЕСТВ 8
2.1. ДВЕ ТЕОРЕМЫ А.Н. ТИХОНОВА 8
2.2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ 9
2.3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ 12
2.4. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВА ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 17
Обратные задачи в математическом моделировании являются одним из ключевых направлений современной науки и техники. Они возникают при решении многих прикладных задач, связанных с восстановлением неизвестных параметров или функций по известным данным. Примеры таких задач включают в себя восстановление формы объектов по измерениям, определение свойств материалов по результатам экспериментов, анализ медицинских изображений и многие другие.
Однако, решение обратных задач часто сталкивается с проблемой неустойчивости и недостаточной точности, что может привести к неправильным выводам и ошибкам. В этом контексте разработка эффективных методов регуляризации является одной из наиболее актуальных задач.
Важным фактором при решении обратных задач является априорная информация, так как она позволяет уточнить и ограничить пространство возможных решений. Это особенно важно в случаях, когда измерения не являются точными или полными, а также когда имеется большое количество неизвестных параметров.
Априорная информация может быть получена из физических законов и теоретических моделей. Она может быть выражена в виде ограничений на значения параметров, матрицы ковариации ошибок измерений, или в виде функциональных зависимостей между параметрами.
Таким образом, априорная информация является необходимым инструментом при решении обратных задач в математическом моделировании, и ее использование может повысить качество решения и улучшить понимание исследуемой системы.
Цель данной работы заключается в изучении математических основ метода регуляризации в обратных задач математического моделирования.
В параграфе 1.1 рассматриваются понятия корректно поставленной и некорректной задачи. В параграфе 1.2 приводятся три примера задач с априорной информацией о множестве решений.
Раздел 2 полностью посвящен доказательству компактности трех множеств функций (монотонные, выпуклые, с ограниченной вариацией). В параграфе 2.1 изложена классическая теорема об обратной биекции и усиленная версия этой теоремы, доказанная в ходе исследовательской деятельности. В параграфе 2.2 изложена теория выделения компакта решений обратной задачи для случая, когда решение принадлежит множеству монотонный функций. В параграфе 2.3 изложена теория выделения компактна для случая множества выпуклых функций, в параграфе 2.4 для случая множества функций ограниченной вариации.
В заключении рассматривается применение усиленной теоремы А.Н. Тихонова в трех типовых примерах, описанных в параграфе 1.2. Также показано, что априорная информация помогает от неустойчивой задачи перейти к устойчивой.
Таким образом, в трех типовых ситуациях, описанных в параграфе 1.2 (решение предполагается неубывающим, выпуклым, или ограниченной вариации) можно применить теорему 2.1.4. даже в ситуации, когда оператор А в задаче 1 параграфа 2.1. не биективен, а является лишь биекцией в точке z.
В каждом из трех типов задач возможен переход от исходной неустойчивой задачи к устойчивой задаче. Действительно, что для любого г > 0 существует 8 = 8(E) > 0 такое, что при любом выборе приближенного решения z§ G A-1(U(US, 3)) будет выполнено неравенство Hz^ — zz < г.
