Введение 3
1 Общие положения 5
1.1 Вероятность 5
1.2 Модовые функции закрученных фотонов в спиральной среде 6
2 Теория возмущений по параметру бе 10
3 Теория возмущений по параметру к? 17
4 ВКБ приближение 22
4.1 Связанные квазиклассические состояния 27
5 Границы применимости 34
5.1 Применимость параксиального приближения 34
5.2 Применимость приближения малой анизотропии 35
5.3 Применимость ВКБ приближения 35
Заключение 37
Список использованной литературы 38
Приложение А 40
Приложение Б 41
Приложение В 44
Основная мотивация данной работы - поиск хорошего и стабильного источника чистых закрученных фотонов в разных диапазонах энергий. Закрученные фотоны представляют собой состояния электромагнитной волны, характеризующимися набором квантовых чисел s,k0,k3,m - соответственно спиральность, энергия, продольный импульс, проекция полного углового момента на направление движения. В последние годы наблюдается повышения интереса к изучению закрученных фотонов, причем как в области теоретической физики так и экспериментальной [1].
То, что пучки электромагнитных волн обладают импульсом, и как следствие, моментом импульса, известно достаточно давно. Линейно или циркулярно-поляризованный свет может быть описан в терминах спинового углового момента. Первые упоминания об этом можно найти в работе [2]. В 1936 году был выполнен первый эксперимент [3], показавший, что пучки фотонов с круговой поляризацией могут передавать момент импульса механической системе.
В отличие от спинового углового момента, собственные значения которого могут принимать лишь два значения s = ±1 в единицах постоянной Планка, орбитальный момент может принимать любые целочисленные значения l = 0; ±1; ±2; ±3... С этими двумя моментами связывают полный угловой момент, квантовые числа которого могут принимать значения m = l + s. Это равенство верно в параксиальном приближении, т.е. в приближении малых углов расхождения лучей, что хорошо реализуется в лазерных пучках.
Закрученные состояния светового пучка можно получить, решая уравнения Максвелла в цилиндрических координатах. Волновой фронт таких состояний представляет собой винтовую поверхность. Конец вектора Пойнтинга описывает спираль.
У закрученных фотонов множество приложений. Ярким примером является применение закрученного света в теории информации. Применение в качестве носителя единицы информации закрученного фотона позволит многократно увеличить скорость передачи данных, поскольку одна частица будет нести в себе число порядка до 104 (см[5]), а не только 0 и 1. В 2013 году был поставлен эксперимент, который доказывает возможность передавать закрученный фотон по оптоволоконному соединению без потери информации о z-проекции орбитального углового момента [6]. Закрученные фотоны поставленные на "поток"были бы как нельзя кстати, в эпоху информатизации.
Длинноволновое электромагнитное излучение создавать и закручивать относительно несложно. Например, в работе[7] сообщается об использовании закрученных радиоволн для передачи на одной несущей частоте сразу нескольких каналов. Обратная ситуация наблюдается в получении закрученных фотонов высоких энергий. Это обстоятельство обусловлено несколькими причинами. Во-первых, размеры фазовых пластинок должны быть сопоставимы с длиной волны высоко энергетических фотонов. Во-вторых, для таких фотонов любое вещество является почти прозрачным.
Развивая вопрос, рассматриваемый в работе [9], а именно излучение закрученных фотонов в однородной изотропной среде, в том числе за счет черенковского излучения, уместно рассмотреть не изотропную среду. Поскольку закрученные фотоны обладают спиральной симметрией, естественно ожидать нетривиального результата для вероятности излучения закрученных фотонов в спиральных средах.
В качестве примера спиральной среды в данной работе рассматриваются холестерики, или холестерические кристаллы, так же известные фотонные кристаллы. Большая часть удивительных оптических свойств холестериков связана с их сложной и деликатной пространственной организацией: молекулы в холестерике расположены так, что, несмотря на отсутствие порядка расположения их центров тяжести, существует дальний порядок в их ориентации, так что направления длинных осей молекул регулярным образом изменяются в пространстве, образуя спираль. Иными словами, холестерические жидкие кристаллы обладают хиральностью[10],[12],[11].
Основные физические свойства жидких кристаллов (оптические, электрические, магнитные и др.), как у твердых кристаллических веществ, зависят от направления, в котором производится их измерение. Иными словами, они обладают анизотропией. Именно анизотропия в сочетании с высокой подвижностью молекул (она проявляется под действием внешних факторов) составляют основные свойства жидких кристаллов.
В этой работе не уделяется существенного внимания процедуре построения квантового электромагнитного поля в среде, а используются результаты работы [9]. Основная деятельности данной работы заключается в нахождении решений уравнений Максвелла и анализ спектра наблюдаемого излучения. В работе используется система единиц h = c =1 и e2 = 1тп, где h - постоянная Планка, c-скорость света, e-заряд электрона, а а ~ 1/137 - постоянная тонкой структуры.
Проведенный анализ демонстрирует перспективу использования холестериков в качестве инструмента для получения и изучения закрученных фотонов. В частности, как было показано, квазиклассическое решение позволяет в спектре излучения чистые закрученные фотоны. Результаты двух других приближений не такие замечательные, тем не менее важны, особенно с учетом "гибких"свойств холестериков, поскольку можно придумать бесчисленное множество смесей чистых холестериков и других жидких кристаллов, тем самым варьируя параметры кристаллы. Эти замечательные свойства холестериков позволяют очень тонко настроить экспериментальную установку для проверки изложенных в этой работе выводов.
Данная работа примечательна так же тем, что рассмотрение квазиклассического решение уравнений Максвелла в среде холестериков оказалось на редкость изящным, что не часто встречается в литературе. Само по себе это решение представляет академическую ценность для математической физики.
Вообще, все три полученных решения важны, поскольку работают не только в разных диапазонах параметров кристалла, но и для разных частот. Введение понятий высоких, средних энергий достаточно условно, поскольку все оценки опираются на безразмерную величину и меряются в единицах q, которая для разных кристаллов отличается на порядки. Тем не менее, как видно из раздела (5), найденные решения охватывают диапазон от низких до высоких энергий.
