Методы исследования RQ-систем с переключением прибора
|
Оглавление 5
Введение 6
1 Математическая модель RQ-системы М/М/1 с переключением прибора ... 10
1.1 Описание модели 10
1.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.3 Асимптотический метод в условии большой загрузки 14
2 Математическая модель RQ-системы MMPP|M1 с переключением
прибора 21
2.1 Математическая модель 21
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 23
2.3 Асимптотический анализ в условии большой загрузки 25
3 Численный алгоритм 30
3.1 Матричный метод 30
3.2 Численный пример 32
3.3 Численный анализ асимптотических результатов 33
Заключение 37
Список использованных источников и литературы 39
Введение 6
1 Математическая модель RQ-системы М/М/1 с переключением прибора ... 10
1.1 Описание модели 10
1.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.3 Асимптотический метод в условии большой загрузки 14
2 Математическая модель RQ-системы MMPP|M1 с переключением
прибора 21
2.1 Математическая модель 21
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 23
2.3 Асимптотический анализ в условии большой загрузки 25
3 Численный алгоритм 30
3.1 Матричный метод 30
3.2 Численный пример 32
3.3 Численный анализ асимптотических результатов 33
Заключение 37
Список использованных источников и литературы 39
Одним из важных разделов экономико-математического моделирования является теория массового обслуживания (ТМО), представляющая собой теоретические основы эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания [1].
Во многих областях экономики существуют системы или задачи с повторяющимися однообразными действиями. В такой системе заявки (клиенты, задачи, информация) приходят в случайное время, им нужно обслуживание одного типа, они могут ждать в очереди или потеряться. Такие системы моделируются системами массового обслуживания (СМО). Примерами СМО могут быть: различные системы связи, погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, грузовые станции), пункты обмена валюты, больницы и т.д.
Интенсивные исследования различных систем массового обслуживания (СМО) начались в начале 60-х годов и продолжаются в настоящее время. Наиболее известны своими исследованиями в области ТМО советские и русские ученые: Гнеденко Б.В. [9,10], Александров А.М. [11], Башарин Г.П. [12-18], Боровков A.A. [19], Бочаров П.П. [20-22], Вишневский [23].
Также значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1984 - 1959) [24], который предложил сам термин теория массового обслуживания. В зарубежной литературе чаще используется название теория очередей.
В настоящее время теория СМО посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело.
Задача анализа СМО заключается в определении ряда показателей ее эффективности, которые можно разделить на следующие группы:
• показатели, характеризующие систему в целом: число занятых
каналов обслуживания, число обслуженных, ожидающих обслуживание или получивших отказ заявок в единицу времени и т.д.;
• вероятностные характеристики: вероятность того, что заявка будет обслужена или получит отказ в обслуживании, что все приборы свободны или определенное число их занято, вероятность наличия очереди и т.д.;
• экономические показатели: затраты, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и т.д.
Для телекоммуникационных систем (т. е. LAN, 4G, FANET и т. д.) обычно используется новый класс СМО — системы массового обслуживания с повторными вызовами или как обычно называют «retrial queuing systems».
Основное отличие таких систем в том, что заявки, пришедшие в систему и обнаружившие прибор занятым, не покидают систему. Они переходят в источник повторных вызовов (на орбиту) и после случайной задержки снова пытаются занять прибор для обслуживания. СМО с повторными вызовами имеет множество примеров применения: мобильные сети, call-центры, различные сети передачи данных [1-4]. Подробное описание RQ-систем представлено в [5,6].
Поскольку реальные информационные потоки имеют непуассоновское распределение, мы рассматриваем RQ- систему с MMPP потоком. Также в [7¬9] изучаются системы массового обслуживания с повторными вызовами с непуассоновскими потоками и др.
В реальной системе обычно интенсивность обслуживания меняется по мере роста числа ожидающих задач. Модели с переключением приборов не так распространены. Также, нужно помнить, что интенсивность обслуживания может стать больше или меньше. Наиболее общей моделью повторных вызовов в этой ситуации является RQ с зависящей от состояния скоростью обслуживания [10,11]. А вот RQ-система с MMPP потоком и переключением прибора аналитически пока не изучены.
В качестве примера телекоммуникационной системы с переменной интенсивностью обслуживания, можно привести сеть управления БПЛА. Когда центральное управляющее устройство может быстрее переключатся от дрона к дрону для получения информации в случае увеличения количества сигналов.
В литературе основными методами исследования RQ-систем являются матричные методы, численные методы, имитационное моделирование, так как точные аналитические формулы удается получить лишь для самых простых моделей.
Большую известность имеют работы в области асимптотических методов. Такие методы исследования различных моделей СМО развивались математиками D. Y. Burman и D. R Smith [29], В.В. Анисимов [30], А.А. Боровков [31], А.А. Назаров [32,33]. Суть метода асимптотического анализа Назарова А. А. [32,33] заключается в решение при выполнении предельного условия систем уравнений, определяющих характеристики математической модели. Именно данный метод развивается в представленной работе.
Целью работы является построение математической модели RQ- системы с переключением прибора и применение асимптотических методов для её исследования.
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
• Построить математическую модель RQ-систем вида M|M|1 и MMPP|M1 с переключением прибора.
• Модифицировать метода асимптотического анализа в условии большой загрузки для исследования RQ-систем с переключением прибора.
• Получить асимптотические формулы основных вероятностных характеристик системы.
• Реализовать численный алгоритм расчета основных вероятностных характеристик.
Для исследования рассмотренных моделей используется методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, 8
теории дифференциальных уравнений, метод характеристических функций, метод асимптотического анализа в условии большой загрузки, матрично-численный метод.
Во многих областях экономики существуют системы или задачи с повторяющимися однообразными действиями. В такой системе заявки (клиенты, задачи, информация) приходят в случайное время, им нужно обслуживание одного типа, они могут ждать в очереди или потеряться. Такие системы моделируются системами массового обслуживания (СМО). Примерами СМО могут быть: различные системы связи, погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, грузовые станции), пункты обмена валюты, больницы и т.д.
Интенсивные исследования различных систем массового обслуживания (СМО) начались в начале 60-х годов и продолжаются в настоящее время. Наиболее известны своими исследованиями в области ТМО советские и русские ученые: Гнеденко Б.В. [9,10], Александров А.М. [11], Башарин Г.П. [12-18], Боровков A.A. [19], Бочаров П.П. [20-22], Вишневский [23].
Также значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1984 - 1959) [24], который предложил сам термин теория массового обслуживания. В зарубежной литературе чаще используется название теория очередей.
В настоящее время теория СМО посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело.
Задача анализа СМО заключается в определении ряда показателей ее эффективности, которые можно разделить на следующие группы:
• показатели, характеризующие систему в целом: число занятых
каналов обслуживания, число обслуженных, ожидающих обслуживание или получивших отказ заявок в единицу времени и т.д.;
• вероятностные характеристики: вероятность того, что заявка будет обслужена или получит отказ в обслуживании, что все приборы свободны или определенное число их занято, вероятность наличия очереди и т.д.;
• экономические показатели: затраты, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и т.д.
Для телекоммуникационных систем (т. е. LAN, 4G, FANET и т. д.) обычно используется новый класс СМО — системы массового обслуживания с повторными вызовами или как обычно называют «retrial queuing systems».
Основное отличие таких систем в том, что заявки, пришедшие в систему и обнаружившие прибор занятым, не покидают систему. Они переходят в источник повторных вызовов (на орбиту) и после случайной задержки снова пытаются занять прибор для обслуживания. СМО с повторными вызовами имеет множество примеров применения: мобильные сети, call-центры, различные сети передачи данных [1-4]. Подробное описание RQ-систем представлено в [5,6].
Поскольку реальные информационные потоки имеют непуассоновское распределение, мы рассматриваем RQ- систему с MMPP потоком. Также в [7¬9] изучаются системы массового обслуживания с повторными вызовами с непуассоновскими потоками и др.
В реальной системе обычно интенсивность обслуживания меняется по мере роста числа ожидающих задач. Модели с переключением приборов не так распространены. Также, нужно помнить, что интенсивность обслуживания может стать больше или меньше. Наиболее общей моделью повторных вызовов в этой ситуации является RQ с зависящей от состояния скоростью обслуживания [10,11]. А вот RQ-система с MMPP потоком и переключением прибора аналитически пока не изучены.
В качестве примера телекоммуникационной системы с переменной интенсивностью обслуживания, можно привести сеть управления БПЛА. Когда центральное управляющее устройство может быстрее переключатся от дрона к дрону для получения информации в случае увеличения количества сигналов.
В литературе основными методами исследования RQ-систем являются матричные методы, численные методы, имитационное моделирование, так как точные аналитические формулы удается получить лишь для самых простых моделей.
Большую известность имеют работы в области асимптотических методов. Такие методы исследования различных моделей СМО развивались математиками D. Y. Burman и D. R Smith [29], В.В. Анисимов [30], А.А. Боровков [31], А.А. Назаров [32,33]. Суть метода асимптотического анализа Назарова А. А. [32,33] заключается в решение при выполнении предельного условия систем уравнений, определяющих характеристики математической модели. Именно данный метод развивается в представленной работе.
Целью работы является построение математической модели RQ- системы с переключением прибора и применение асимптотических методов для её исследования.
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
• Построить математическую модель RQ-систем вида M|M|1 и MMPP|M1 с переключением прибора.
• Модифицировать метода асимптотического анализа в условии большой загрузки для исследования RQ-систем с переключением прибора.
• Получить асимптотические формулы основных вероятностных характеристик системы.
• Реализовать численный алгоритм расчета основных вероятностных характеристик.
Для исследования рассмотренных моделей используется методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, 8
теории дифференциальных уравнений, метод характеристических функций, метод асимптотического анализа в условии большой загрузки, матрично-численный метод.
В данной работе были выполнено построение математической модели RQ- системы с переключением прибора и выполнено ее исследование с помощью метода асимптотического анализа в условии большой загрузки, а также численным алгоритмом.
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
• Построена математическая модель RQ-систем M|M| 1 и MMPP|M1 с переключением прибора.
• Применен метод асимптотического анализа в условии большой загрузки для исследования RQ-систем с переключением прибора.
• Получены асимптотические формулы основных вероятностных характеристик в системе.
• Реализован численный алгоритм расчета основных вероятностных характеристик.
По материалам ВКР было опубликовано 3 работы, в том числе 1 статья на английском языке в международной базе Scopus:
1. Khadzhi-Ogly K.R., Salimzianov R.R., Fedorova E.A. Retrial Queue MMPP/M/1 with Server Switching // Communications in Computer and Information Science. 2023. Vol. 1803. P. 80-91. DOI: 10.1007/978-3-031-32990- 6_7
2. Хаджи-Оглы К.Р., Фёдорова Е.А. Асимптотический анализ RQ- системы ММРР|М| 1 с переключением прибора в условии большой загрузки // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ- 2022) : материалы XXI Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 25-29 октября 2022 г. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2023. С. 150-155.
3. Хаджи-Оглы К. Исследование RQ-системы ММРР|М|1 с переключением прибора методом асимптотического анализа в условии большой загрузки // Материалы 62- й Междунар. науч. студ. конф. - Новосибирск, 2024. С. 218-219.
Конференции:
1. XXI Международная конференция имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» ИТММ'2022 (25 - 29 October 2022, Uzbekistan, Karshi).
2. Международная научная студенческая конференция МНСК-2024 (17 апреля 2024 г. - 23 апреля 2024 г., г. Новосибирск).
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
• Построена математическая модель RQ-систем M|M| 1 и MMPP|M1 с переключением прибора.
• Применен метод асимптотического анализа в условии большой загрузки для исследования RQ-систем с переключением прибора.
• Получены асимптотические формулы основных вероятностных характеристик в системе.
• Реализован численный алгоритм расчета основных вероятностных характеристик.
По материалам ВКР было опубликовано 3 работы, в том числе 1 статья на английском языке в международной базе Scopus:
1. Khadzhi-Ogly K.R., Salimzianov R.R., Fedorova E.A. Retrial Queue MMPP/M/1 with Server Switching // Communications in Computer and Information Science. 2023. Vol. 1803. P. 80-91. DOI: 10.1007/978-3-031-32990- 6_7
2. Хаджи-Оглы К.Р., Фёдорова Е.А. Асимптотический анализ RQ- системы ММРР|М| 1 с переключением прибора в условии большой загрузки // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ- 2022) : материалы XXI Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 25-29 октября 2022 г. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2023. С. 150-155.
3. Хаджи-Оглы К. Исследование RQ-системы ММРР|М|1 с переключением прибора методом асимптотического анализа в условии большой загрузки // Материалы 62- й Междунар. науч. студ. конф. - Новосибирск, 2024. С. 218-219.
Конференции:
1. XXI Международная конференция имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» ИТММ'2022 (25 - 29 October 2022, Uzbekistan, Karshi).
2. Международная научная студенческая конференция МНСК-2024 (17 апреля 2024 г. - 23 апреля 2024 г., г. Новосибирск).
