ВВЕДЕНИЕ 3
1 Прогрев многослойной конструкции без теплоизолирующей вставки 5
1.1 Физическая постановка задачи 5
1.2 Математическая постановка задачи 6
1.3 Дискретизация и численный метод решения 8
1.3.1 Построение конечно-разностного аналога 8
1.3.2 Порядок аппроксимации неявной схемы 13
1.3.3 Исследование неявной схемы на устойчивость и сходимость 15
2 Прогрев многослойной конструкции с теплоизолирующей вставкой изразного материала 19
2.1 Физическая постановка задачи 19
2.2 Математическая постановка задачи 20
3 Численные эксперименты и верификация с ANSYS Fluent 23
3.1 Конструкция без изолирующей вставки 23
3.2 Конструкция с изолирующей вставкой 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 34
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 35
ПРИЛОЖЕНИЕА 37
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 41
При рассмотрении многих явлений в природе и технике важную роль играет теплопроводность.
Теплопроводность — это способность тела проводить энергию (теплоту) от более нагретых частей к менее нагретым путём хаотического движения частиц тела (атомов, молекул, электронов и т. п.).
Теплопроводностью также называется молекулярный перенос теплоты в сплошной среде. Если рассматривать систему частиц, как сплошную среду, то создание математической модели этой среды приведет нас к уравнениям в частных производных. С помощью полученных уравнений и будут описаны задачи теплопроводности.
Уравнение теплопроводности — это дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в заданной области. Исследование процессов теплообмена интенсивно применяется в таких направлениях, как машиностроение, металлургическое и нефтегазовое дело и другие. Для решения задач теплопроводности существуют аналитические методы, однако решение некоторых неоднородных и нелинейных задач теплопроводности получить аналитическими методами не представляется возможным. Решение такого рода задач проводится с использованием численных методов. Использование численных методов при исследовании процессов теплообмена позволяет решать многие практические задачи и все успешнее входит в практику работы различных проектноконструкторских, а также производственных организаций. Поэтому, несомненно, важным остается открытие и изучение новых методов численного решения различных типов задач.
Дифференциальное уравнение теплопроводности является
математической моделью целого класса явлений теплопроводности, и при его интегрировании может быть получено бесконечное множество решений. Чтобы из этого множества найти одно частное решение, соответствующее определенной задаче, необходимо иметь дополнительные условия, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении [1]. Эти условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением однозначно определяют конкретную задачу теплопроводности, называют условиями однозначности, которые содержат геометрические, физические, начальные и граничные условия.
Рассмотрим эти условия:
• Геометрические — характеризуют размеры и форму тела, в котором протекает процесс теплообмена;
• Физические — характеризуют физические свойства тела (теплопроводность и температуропроводность), а также закон распределения внутренних источников тепла;
• Граничные — характеризуют особенности теплового взаимодействия граничной поверхности тела с окружающей средой;
• Начальные — содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени.
Данная работа посвящена численному решению одномерного уравнения теплопроводности с граничными условиями третьего и четвертого рода с использованием неявной разностной схемы. Выполнено исследование разностной схемы на погрешность аппроксимации, устойчивость и сеточную сходимость.
В работе представлены результаты верификации численного решения, полученного с помощью разработанного алгоритма, с численным решением, полученным с помощью универсального пакета гидродинамики ANSYS Fluent.
На основе метода конечных разностей построен дискретный аналог уравнения теплопроводности с использованием неявной схемы аппроксимации. В работе рассматривалось численное решение одномерного уравнения теплопроводности с граничными условиями первого, третьего и четвертого рода. Выполнено исследование разностной схемы на погрешность аппроксимации, устойчивость и сеточную сходимость.
Для проверки правильности решения поставленной задачи в работе проведено математическое моделирование протекающего физического процесса в пакете гидродинамики ANSYS Fluent, как для конструкции без изолирующей вставки, так и с изолирующей вставкой из пеноплекса и каменной ваты.
Результаты сравнения показали высокий уровень согласования, что в свою очередь служит подтверждением работоспособности разработанных численных алгоритмов на основе неявной схемы.
Визуализирован протекающий процесс теплопереноса внутри рассматриваемых многослойных конструкций с различными
теплофизическими характеристиками.
Из результатов моделирования следует, что четырехслойная конструкция, содержащая изолятор из пеноплекса или каменной ваты прогревается значительно медленнее, чем аналогичная конструкция без изолирующей вставки. Что подтверждает использование данных негорючих теплоизоляционных материалов для выполнения огнезащиты подобных многослойных конструкций и увеличение их огнестойкости.
