Реферат 3
Введение 3
Глава 1 Постановка задачи 4
1.1 Физическая постановка задачи 4
1.2 Математическая постановка задачи 6
Глава 2 Основные понятия метода конечных разностей 10
2.1 Сетки и сеточные функции 10
2.3 Аппроксимация 14
2.4 Устойчивость 16
2.5 Связь между аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью 16
Глава 3 Методы решения систем линейных уравнений 17
3.1 Решение систем линейных уравнений методом прогонки 17
Глава 4 Построение разностных схем 19
4.1 Построение разностной схемы для температуры воды 19
4.2 Выбор сетки 19
4.4 Построение разностной схемы для уравнения теплопроводности льда 21
Полученные результаты 23
График изменения температуры воды 24
Список литературы 27
Еще с древнейших времен люди оценивали, измеряли и предсказывали температуру воды в реке, зависящую от погодных условий или других факторов. Это было необходимо, чтобы предугадать, когда можно использовать реку для различных хозяйственных целей, либо предостеречь себя от опасности затопления. И по сей день человечество использует реку во многих аспектах деятельности: от транспортировки груза до выработки электроэнергии. Поэтому прогноз температуры в реках актуален как никогда.
Для предсказания температуры можно использовать математические модели. Создание математических моделей является главным направлением современного процесса математизации наук. Необходимость математических моделей первыми ощутили точные науки - механика, физика, астрономия. Для исследования физических явлений используются также экспериментальные методы, но в силу дороговизны или невозможности моделирования в большинстве случаев подобные методы неприемлемы. Математическая же модель может представляться в виде уравнений, в которые в качестве параметров и неизвестных входят характеристики физических явлений, позволяющие с помощью ЭВМ оценить возмущения основных параметров, характеризующих состояние среды.
Благодаря современным технологиям, можно легко и быстро вычислить необходимые результаты, для этого нужно разработать алгоритм на современной ЭВМ. В наше время даже персонального компьютера хватит для того, чтобы решить данную задачу.
Цель работы - построить численный метод решения уравнения теплообмена для течения большой реки и уравнения теплопроводности для ледяного покрова. Исследовать полученные разностные схемы и методы их решения. Вычислить с помощью ЭВМ распределение температуры вдоль реки в различные временные промежутки, проанализировать результаты.
Была построена математическая модель теплового режима реки. Были сформулированы физическая и математическая постановки. Выведено уравнение для температуры воды, осредненной по глубине. Исследовано уравнение теплопроводности для ледяного покрова. Изучены основные понятия метода конечных разностей, такие как: сетка и сеточные функции, разностная схема, аппроксимация и устойчивость. Построены разностные схемы для уравнения температуры воды и уравнения теплопроводности для ледового покрытия, выбраны для них сетки и совершили переход от дифференциальных задач к конечно-разностным. Далее. изучен метод прогонки для решения СЛАУ. Определили коэффициенты для метода прогонки. Метод прогонки реализован на языке “C++” с учетом начальных и граничных условий. Результаты расчетного изменения температуры воды были изображены на графике. Из результатов следует, что ледовый покров на реке Оби устанавливается в первой половине ноября.
