Помощь студентам в учебе
НЕЛИНЕЙНАЯ КОНФОРМНО-ИНВАРИАНТНАЯ ДИНАМИКА С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
|
Введение 2
1 Конформно-инвариантные модели 6
1.1 Свободная частица с высшими производными 6
1.2 Осциллятор Пайса-Уленбека 10
2 Аналог конформной частицы с высшими производными 15
2.1 Построение аналога с высшими производными для модели кон¬формной частицы 15
2.2 Метод нелинейных реализаций 18
2.3 Аналоги конформной частицы с высшими производными в про-странстве Ньютона-Гука 20
3 Аналог с высшими производными системы многих частиц, взаи¬
модействующих посредством конформно-инвариантного потен¬циала 21
3.1 Конформная механика многих частиц 21
3.2 Аналог с высшими производными конформной механики многих
частиц 23
3.3 Аналог с высшими производными конформной механики многих
частиц в пространстве Ньютона-Гука 25
Заключение 27
Приложение А 28
1 Конформно-инвариантные модели 6
1.1 Свободная частица с высшими производными 6
1.2 Осциллятор Пайса-Уленбека 10
2 Аналог конформной частицы с высшими производными 15
2.1 Построение аналога с высшими производными для модели кон¬формной частицы 15
2.2 Метод нелинейных реализаций 18
2.3 Аналоги конформной частицы с высшими производными в про-странстве Ньютона-Гука 20
3 Аналог с высшими производными системы многих частиц, взаи¬
модействующих посредством конформно-инвариантного потен¬циала 21
3.1 Конформная механика многих частиц 21
3.2 Аналог с высшими производными конформной механики многих
частиц 23
3.3 Аналог с высшими производными конформной механики многих
частиц в пространстве Ньютона-Гука 25
Заключение 27
Приложение А 28
Конформная симметрия свойственна многим важным физическим и математическим моделям. Известно, что безмассовые уравнения Кляйна-Гордона и Дирака обладают конформной симметрией, которая шире, чем симметрия их массивных аналогов [1]-[4]. Уравнения Максвелла также обладают конформной инвариантностью [5]. Более того, конформная симметрия лежит в основе теории (супер)струн, которая активно развивается последние сорок лет и до сих пор многими рассматривается как основной претендент на роль единой теории фундаментальных взаимодействий [6]. Существует немало конформноинвариантных систем, представляющих физический интерес. Они встречаются в атомной физике [7]-[8], в физике черных дыр [9], в физике конденсированного состояния [10].
В наши дни основным направлением в исследовании конформной симметрии можно считать изучение АдС/КТП-соответствия [11]. Это соответствие позволяет установить связь между конформной теорией поля в плоском простанстве и теорией струн в искривленном пространстве большей размерности. Нерелятивистская версия АдС/КТП соответствия была успешна применена для установления дуальностей систем в теории конденсированного состояния [12]-[13], в теории несжимаемой жидкости [14]. В частности, система фермионов, рассмотренная в [15],[16], обладает конформной симметрией и может быть воспроизведена в лаборатории [17]. Работы [18]-[20] были посвящены изучению гравитации, инвариантной относительно анизотропных конформных преобразований.
Одномерная конформная алгебра so(1,2) включает в себя три генератора: генератор трансляций по времени H, генератор дилатаций D и генератор специальных конформных преобразований K. Существует множество механических систем обладающих so(1, 2) симметрией. К таковым относятся: свободная частица [21], конформная частица [22], гармонический осциллятор [23], система тождественных частиц, взаимодействующий посредством конформного потенциала [24].
Существует два семейства нерелятивистских алгебр, содержащих so(1,2) как подалгебру. Первое семейство составляют конформные расширения алгебры Галилея, параметризующиеяся положительным числом l, которое может принимать целые или полуцелые значения [25]-[27]. Алгебры принадлежащие этому семейству называются l-конформными алгебрами Галилея. l-конформная алгебра Галилея для значения l =1/2 называется алгеброй Шредингера. Она является алгеброй симметрии систем многих частиц, взаимодействующих посредством конформно-инвариантного потенциала. Такие системы активно изучались в работах [28]-[36].
l-конформные расширения алгебры Ньютона-Гука образуют второе семейство нерелятивистских конформных алгебр [26]-[37]. l-конформную алгебру Ньютона-Гука можно рассматривать как аналог l-конформной алгебры Галилея в присутствии универсального космологического отталкивания или притяжения.
Известно, что l-конформные расширения алгебр Галилея и Ньютона-Гука изоморфны. Действтельно, структурные соотношения l-конформной алгебры Ньютона-Гука можно получить заменой базиса H ! H ± R2K в l-конформной алгебре Галилея, где Л = ±R2 есть нерелятивистская космологическая постоянная. Однако, при рассмотрении динамических реализаций, замена базиса приводит к новому гамильтониану, и соответсвенно, новой динамике. К примеру, максимальной группой симметрии для модели свободной частицы является группа Шредингера (l = 1/2-конформная группа Галилея) [21]. Вместе с этим, Ньютон- Гуковский аналог этой модели представляет собой гармонический осциллятор [23].
Модель свободной частицы с высшими производными [38, 39] и осциллятор Пайса-Уленбека [40] могут рассматриваться как аналоги с высшими производными моделей свободной частицы и гармонического осциллятора, соответственно. Эти системы с высшими производными активно изучались в последнее время на предмет их симметрий [38, 39], [41]-[48]. Так, было показано, что l- конформная группа Галилея - это максимальная группа симметрии свободной частицы (21 + 1) порядка [39]. Также, осциллятор Пайса-Уленбека при специальном выборе частот колебаний обладает 1-конформной симметрией Ньютона- Гука [41, 43, 46]. В то же время, аналоги с высшими производными других нерелятивистских механических конформно-инвариантных систем неизвестны.
Основными задачами квалификационной бакалаврской работы являются следующие:
1. Построение аналога с высшими производными модели конформной частицы.
2. Получение одномерного аналога уравнений движения системы, представленной в пункте 1, используя метод нелинейных реализаций.
3. Построение аналога с высшими производными системы тождественных частиц, взаимодействующих посредством конформно-инвариантного потенциала.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе приводятся примеры известных конформно-инвариантных моделей с высшими производными, а именно частицы с высшими производными и осциллятора Пайса-Уленбека. Устанавливается взаимосвязь этих моделей с помощью преобразования Нидерера. Выписываются преобразования симметрии и соответствующие интегралы движения.
Вторая глава посвящена построению аналога конформной частицы с высшими производными. Сначала, мы получаем новый конформно-инвариантный функционал действия и соотвествующие уравнения движения. Затем, строим одномерный аналог этих уравнений движения методом нелинейных реализаций. В заключении, обсуждается аналог построенной модели в пространстве Ньютона-Гука.
В третьей главе строится аналог с высшими производными системы многих частиц, взаимодействующих посредством конформного потенциала. Полученной модели сопоставляется партнер в пространстве Ньютона-Гука.
В заключении обсуждаются полученные результаты и возможные направления дальнейших исследований.
В приложении А приведены вычисления, используемые при построении конформно-инвариантных уравнений с высшими производными при помощи метода нелинейных реализаций.
В наши дни основным направлением в исследовании конформной симметрии можно считать изучение АдС/КТП-соответствия [11]. Это соответствие позволяет установить связь между конформной теорией поля в плоском простанстве и теорией струн в искривленном пространстве большей размерности. Нерелятивистская версия АдС/КТП соответствия была успешна применена для установления дуальностей систем в теории конденсированного состояния [12]-[13], в теории несжимаемой жидкости [14]. В частности, система фермионов, рассмотренная в [15],[16], обладает конформной симметрией и может быть воспроизведена в лаборатории [17]. Работы [18]-[20] были посвящены изучению гравитации, инвариантной относительно анизотропных конформных преобразований.
Одномерная конформная алгебра so(1,2) включает в себя три генератора: генератор трансляций по времени H, генератор дилатаций D и генератор специальных конформных преобразований K. Существует множество механических систем обладающих so(1, 2) симметрией. К таковым относятся: свободная частица [21], конформная частица [22], гармонический осциллятор [23], система тождественных частиц, взаимодействующий посредством конформного потенциала [24].
Существует два семейства нерелятивистских алгебр, содержащих so(1,2) как подалгебру. Первое семейство составляют конформные расширения алгебры Галилея, параметризующиеяся положительным числом l, которое может принимать целые или полуцелые значения [25]-[27]. Алгебры принадлежащие этому семейству называются l-конформными алгебрами Галилея. l-конформная алгебра Галилея для значения l =1/2 называется алгеброй Шредингера. Она является алгеброй симметрии систем многих частиц, взаимодействующих посредством конформно-инвариантного потенциала. Такие системы активно изучались в работах [28]-[36].
l-конформные расширения алгебры Ньютона-Гука образуют второе семейство нерелятивистских конформных алгебр [26]-[37]. l-конформную алгебру Ньютона-Гука можно рассматривать как аналог l-конформной алгебры Галилея в присутствии универсального космологического отталкивания или притяжения.
Известно, что l-конформные расширения алгебр Галилея и Ньютона-Гука изоморфны. Действтельно, структурные соотношения l-конформной алгебры Ньютона-Гука можно получить заменой базиса H ! H ± R2K в l-конформной алгебре Галилея, где Л = ±R2 есть нерелятивистская космологическая постоянная. Однако, при рассмотрении динамических реализаций, замена базиса приводит к новому гамильтониану, и соответсвенно, новой динамике. К примеру, максимальной группой симметрии для модели свободной частицы является группа Шредингера (l = 1/2-конформная группа Галилея) [21]. Вместе с этим, Ньютон- Гуковский аналог этой модели представляет собой гармонический осциллятор [23].
Модель свободной частицы с высшими производными [38, 39] и осциллятор Пайса-Уленбека [40] могут рассматриваться как аналоги с высшими производными моделей свободной частицы и гармонического осциллятора, соответственно. Эти системы с высшими производными активно изучались в последнее время на предмет их симметрий [38, 39], [41]-[48]. Так, было показано, что l- конформная группа Галилея - это максимальная группа симметрии свободной частицы (21 + 1) порядка [39]. Также, осциллятор Пайса-Уленбека при специальном выборе частот колебаний обладает 1-конформной симметрией Ньютона- Гука [41, 43, 46]. В то же время, аналоги с высшими производными других нерелятивистских механических конформно-инвариантных систем неизвестны.
Основными задачами квалификационной бакалаврской работы являются следующие:
1. Построение аналога с высшими производными модели конформной частицы.
2. Получение одномерного аналога уравнений движения системы, представленной в пункте 1, используя метод нелинейных реализаций.
3. Построение аналога с высшими производными системы тождественных частиц, взаимодействующих посредством конформно-инвариантного потенциала.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе приводятся примеры известных конформно-инвариантных моделей с высшими производными, а именно частицы с высшими производными и осциллятора Пайса-Уленбека. Устанавливается взаимосвязь этих моделей с помощью преобразования Нидерера. Выписываются преобразования симметрии и соответствующие интегралы движения.
Вторая глава посвящена построению аналога конформной частицы с высшими производными. Сначала, мы получаем новый конформно-инвариантный функционал действия и соотвествующие уравнения движения. Затем, строим одномерный аналог этих уравнений движения методом нелинейных реализаций. В заключении, обсуждается аналог построенной модели в пространстве Ньютона-Гука.
В третьей главе строится аналог с высшими производными системы многих частиц, взаимодействующих посредством конформного потенциала. Полученной модели сопоставляется партнер в пространстве Ньютона-Гука.
В заключении обсуждаются полученные результаты и возможные направления дальнейших исследований.
В приложении А приведены вычисления, используемые при построении конформно-инвариантных уравнений с высшими производными при помощи метода нелинейных реализаций.
Отметим основные результаты, полученные в данной работе. Во-первых, была построена модель, обладающая l-конформной симметрией Галилея, которую можно рассматривать как обобщение модели конформной частицы на случай высших производных. Одномерный аналог уравнений движений представленной модели был получен с использованием метода нелинейных реализаций. Во-вторых, мы построили аналог с высшими производными системы тождественных частиц, взаимодействующих между собой посредством конформного потенциала. Аналоги новых конформно-инвариантных моделей в пространстве Ньютона-Гука были получены при помощи преобразований координат специального вида.
Дальнейшие исследования данной темы могут быть связаны с изучением устойчивости и интегрируемости полученных моделей с высшими производными. Также, представляется интересным изучение возможности построения суперсимметричных расширений систем, полученных в настоящей работе.
Дальнейшие исследования данной темы могут быть связаны с изучением устойчивости и интегрируемости полученных моделей с высшими производными. Также, представляется интересным изучение возможности построения суперсимметричных расширений систем, полученных в настоящей работе.
