Уравнение переноса является одним из фундаментальных в математической физике. С его помощью можно описать множество физических явлений и процессов, также, оно часто используется для разработки или тестирования новых численных методов, которые моделируют данные процессы. При их исследовании применяются законы сохранения, имеющие вид нестационарных интегральных или дифференциальных уравнений, включающих члены, описывающие перенос примеси, как за счет конвекции, так и за счет диффузии.
В связи с затруднительным получением аналитического решения таких уравнений из-за недостаточного уровня развития теоретической математики, активно разрабатываются численные методы решения, которые обязательно должны обеспечивать условия аппроксимации, устойчивости и сходимости.
Дифференциальные уравнения переноса эквивалентны некоторым интегральным законам сохранения. Эти интегральные законы сохранения могут быть аппроксимированы путём применения квадратурных формул приближения интегралов для каждой элементарной ячейки сетки (объёма). Такой метод получил название метода конечных объёмов. Он позволяет построить консервативные разностные схемы, т.е. схемы для которых выполняются сеточные аналоги законов сохранения [6].
Метод конечного объема или метод конечных разностей дают возможность свести задачу решения дифференциального уравнения в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом само решение полученной системы линейных алгебраических уравнений представляет собой приближенные значения решения искомого дифференциального уравнения в узловых точках.
Среди основных свойств решений начально-краевых задач для
уравнения переноса выделяют выполнимость принципа максимума.
Разностные схемы, которые удовлетворяют принципу максимума, называют монотонными. Для уравнения переноса легко строятся монотонные разностные схемы первого порядка по пространству с использованием направленных разностных производных [4], [7], [8].
Целью работы является знакомство с численными методами решения дифференциальных уравнений и изучение влияния выбранной схемы аппроксимации конвективного слагаемого на численное решение.
На основе метода конечного объема построено несколько дискретных аналогов уравнения переноса с использованием следующих схем для аппроксимации конвективного слагаемого: противопоточная схема, схема QUICK, схема MLU. Проведено исследование порядка аппроксимации и устойчивости полученных разностных схем. Проведен набор вычислительных экспериментов направленных на сравнение полученных разностных аппроксимаций уравнения переноса.
Проанализированы результаты использования разностных схем на примере одномерного и двумерного уравнения переноса примеси. Показано, что использование противопоточной схемы сглаживает решение, использование схемы QUICK приводит к появлению осцилляций в точках разрыва решения, а использование схемы MLU позволяет получить результат наиболее близкий к аналитическому решению.
