ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДРОБНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОРЯДКОВ С
ПОСТОЯННЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЛЮБЫХ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОРЯДКОВ
Перечень обозначений 3
Введение 4
1 Теоретические основы линейных однородных дифференциальных уравнений в дробном анализе 5
1.1 Основные понятия и определения 5
1.2 Экспоненты в дробном анализе 6
1.3 Обобщение однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
любых вещественных порядков с постоянными вещественными коэффициентами 8
2 Анализ решений линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами вещественных порядков целой степени 14
2.1 Обобщение однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
третьей степени 14
2.2 Обобщение однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
четвертой степени 27
3 Примеры решений линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вещественных порядков целой степени 39
3.1 Уравнение порядка 1/2 третьей степени с постоянными вещественными
коэффициентами 39
3.2 Уравнение порядка 3/2 четвертой степени с постоянными вещественными
коэффициентами 43
Заключение 50
Литература 53
Приложение А Аналитический расчет констант интегрирования 54
Линейные обыкновенные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами представляют фундаментальныый интерес для современной математики и её приложений. Исследование их обобщений на случай произвольных вещественных порядков обусловлено растущими потребностями физики, механики и инженерных наук, где такие уравнения моделируют процессы с памятью и фрактальные явления. Разработка соответствующего математического аппарата приобретает особую актуальность в связи с развитием теорий нелинейной динамики и сложных систем.
Анализ литературных источников показывает, что классическая теория дифференциальных уравнений, разработанная для целых порядков, не обеспечивает адекватного описания указанных явлений. Существующие подходы к дробному интегродифференцированию обладают рядом ограничений при решении прикладных задач. В этой связи теория ^-оператора, предложенная в работах Чурикова В.А., представляет собой перспективное направление, позволяющее преодолеть указанные ограничения за счет единого подхода к операциям дробного порядка.
Основой полученной теории служит ^-оператор дробного
интегродифференцирования, который играет важную роль в изучении дифференциальных уравнений с произвольным порядком производных. Важным свойством ^-анализа является выполнение принципа соответствия, что позволяет связать его с классическим анализом в случае интегродифференцирования порядка 1.
Настоящая выпускная квалификационная работа посвящена исследованию линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) дробных вещественных порядков с постоянными вещественными коэффициентами. Актуальность исследования обусловлена возрастающими потребностями физики, механики и инженерных наук, где такие уравнения адекватно моделируют процессы с памятью, фрактальные явления и сложные динамические системы, не описываемые классическими моделями целых порядков. Разработка математического аппарата для их решения представляет фундаментальную и прикладную ценность.
Основная цель работы - разработка и обобщение методов решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами для произвольных вещественных порядков, а также исследование свойств их решений - достигнута. В ходе исследования последовательно решены поставленные во введении задачи:
1. Изучена теория ^-оператора дробного интегродифференцирования и его
применение. Проанализированы свойства ^-оператора, установлены его ключевые отличия от классических операторов дробного исчисления. Определены правила действия ^-оператора на степенные функции, включая особые случаи (полюса, логарифмический случай).
2. Проведен анализ характеристических уравнений и свойств экспоненциальных
решений. Систематизированы типы экспонент дробного анализа exps (x) в
зависимости от порядка s и выявлены их фундаментальные свойства:
3. Разработана общая теория и методы решения ЛОДУ произвольного вещественного
порядка. Детально исследованы частные случаи
уравнений третьего и четвертого порядков (n=3,4). Для каждого случая:
• Выведены явные формы характеристических уравнений.
• Разработаны алгоритмы нахождения корней.
• Построены структуры общего решения с учетом специфики порядка s.
• Проанализированы особенности, связанные с некоммутативностью операторов дробного интегродифференцирования при рациональных s=p/q.
4. Исследованы задачи Коши и начальные условия. Разработаны подходы к постановке и решению задач Коши для ЛОДУ дробного порядка:
• Выявлена принципиальная важность учета полиномов
интегродифференцирования ( Cs (x), C_s (x)) в производных нецелого порядка, отсутствующих в классическом анализе. Показано их представление в виде дробностепенных рядов.
• Сформулированы требования к начальным условиям: необходимо задавать не только значение функции и её "дробных производных", но и значения полиномов интегродифференцирования.
5. Представлены и проанализированы практические примеры. Детально рассмотрены и решены конкретные уравнения:
• Уравнение порядка 1/2 третьей степени (^=1/2, и=3): Построено общее решение, решена задача Коши с начальными условиями в точке x=1, явно найдены константы интегрирования.
• Уравнение порядка 3/2 четвертой степени (s=3/2, n=4): Найдены корни характеристического уравнения, описана структура общего решения с учетом экспоненциального вырождения и многозначности констант, приведены формулы для фундаментальных решений и диагональных общих решений. Решена задача Коши с начальными условиями в точке х=п.
Теоретическая и практическая значимость работы заключается в следующем:
1. Развитие математического аппарата: Работа вносит существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений дробного порядка, предлагая систематический подход к решению широкого класса ЛОДУ с постоянными коэффициентами на основе теории ^-оператора.
2. Решение прикладных задач: Полученные результаты предоставляют строгий математический инструментарий для моделирования и анализа реальных процессов в физике, механике и других областях, где традиционные модели целого порядка недостаточны.
3. Основа для дальнейших исследований: Результаты работы создают фундамент для изучения более сложных задач: нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка, уравнений с переменными коэффициентами, систем таких уравнений, краевых задач.
Перспективы дальнейших исследований могут включать:
1. Применение разработанных методов к уравнениям с переменными коэффициентами.
2. Исследование нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка.
3. Разработка численных методов решения ЛОДУ высоких дробных порядков на основе полученных аналитических представлений.
4. Изучение краевых задач для ЛОДУ дробного порядка.
5. Углубленный анализ свойств решений в комплексной области, особенно для иррациональных порядков.
6. Прямое приложение полученных результатов к конкретным прикладным проблемам в науке и технике.
В заключение, поставленные в исследовании цели достигнуты, а задачи решены в полном объеме. Разработанный математический аппарат на основе ^-оператора доказал свою эффективность для анализа и решения линейных однородных дифференциальных уравнений дробных порядков с постоянными коэффициентами, открывая новые возможности для моделирования сложных процессов с памятью и фрактальной динамикой.
