Гармоническое приближение для твердых тел объясняет множество физических явлений. Однако, при высоких температурах предсказания гармонического приближения расходятся с экспериментом. Расхождение с экспериментом связанно с основным предположением гармонического приближения, а именно малостью колебаний ионов относительно узлов решетки, что, в частности, неверно при высоких температурах. Учет ангармонических эффектов позволяет описать следующие явления: поведение теплоемкости при высоких температурах, уширение спектральных линий и сдвиги фононных частот при рассеянии нейтронов на кристаллах, эффект теплого расширения, конечность теплопроводности кристаллов.
Структура фазовой диаграммы системы взаимодействующих электронов до сих пор доподлинно не известна и является областью активных научных исследований, см., например, [9, 11]. Известно, что при низких плотностях и температурах электроны кристаллизуются, образуя так называемый вигнеровский кристалл. Несмотря на более чем полувековую историю теоретического и экспериментального изучения двумерных и трехмерных электронных кристаллов, их ангармонические свойства изучены недостаточно хорошо. Вигнеровские кристаллы реализуются и в одномерном пространстве, однако все они являются «короткими» [8]; термодинамический предел для них не определен. К модели бесконечного одномерного кристалла можно относиться как к размерной редукции реальных двумерных и трехмерных систем. Такая система лишена многих вычислительных трудностей, возникающих в более высоких размерностях (медленная сходимость сумм по решеткам, интегрирование по нетривиальной зоне Бриллюэна, численный анализ интегралов в смысле главного значения и пр., см. [7]), что делает вычисление и анализ ангармонических эффектов более доступным.
Данная работа посвящена изучению влияния ангармонизма на термодинамические свойства одномерных вигнеровских кристаллов. Изучение термодинамики фактически сводится к вычислению термодинамического потенциала, например, свободной энергии. В связи с этим сначала вычисляется ведущая ангармоническая поправка в свободную энергию трехмерного кристалла с неким произвольным потенциалом. Далее, общие формулы применяются к случаю одномерного электронного кристалла. В частности находится ангармонический вклад в энергию основного состояния, а также поправка к закону Дюлонга-Пти, описывающему поведение теплоемкости решетки при высоких температурах.
В данной работе была вычислена ведущая поправка в свободную энергию трехмерного ангармонического кристалла по теории возмущений, а также получены высокотемпературный и низкотемпературный пределы для свободной энергии. Ответ получен в аналитическом виде. В качестве примера был рассмотрен одномерных вигнеровский кристалл, для которого были найдены поправки к энергии основного состояния и свободной энергии при высоких температурах. Также вычислена поправка к закону Дюлонга-Пти, которая имеет отрицательный знак. Поправки получены численно. Было рассмотрено приближение ближайших соседей, в котором относительные ошибки для поправок достигают 50%. Столь большие отклонения связаны с медленным стремлением к нулю кулоновского потенциала на бесконечности.
