КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОСТЫВАНИЯ МЕТАЛЛА ПРИ ПЕРЕЛИВАНИИ ИЗ ТИГЛЯ В ИЗЛОЖНИЦУ

АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 6
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 13
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 17
3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ 22
4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ 31
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 36
Купить

В первой половине XX века была создана первая вычислительная машина немецким инженером Конрад Цузе, со временем машины становились только мощнее удобнее в использование и более компактнее. Изобретение компьютера означало создание универсального инструмента для математических вычислений. В распоряжении инженеров и учёных для выполнения ручных операций были только калькуляторы, которые активно использовались вплоть до начала массового производства персональных компьютеров. Одно из преимуществ прогресса это развитие физики, так как стало возможно получить решения задач, не имеющих аналитическое решение. Это стало осуществимо благодаря использования численных методов, но уже не пересчитывая все уравнения вручную, а с помощью ЭВМ. Таким образом можно сказать что вычислительная математика получила больше возможностей в прикладном применении для проведения научных и инженерных расчётов.
Вычислительная математика состоит из нескольких частей: построения математической модели, разработка метода и алгоритма решения. Построение математической модели для поставленной задаче базируется на обработке входных данных. Далее проводится численное решение математических задач и анализ результатов вычислений. Степень достоверности результатов анализа должна соответствовать точности входных данных. Методы и алгоритмы решения типовых математических задач с применением вычислительной техники носят название численных методов.
Численным методом задачи решаются в несколько этапов. Исходная математическая задача заменяется вычислительным алгоритмом. Основным требованием к вычислительному алгоритму является высокая точность, устойчивость и экономичность. При переходе к дискретной модели появляется погрешность аппроксимации, а при реализации вычислений — погрешность округления, поэтому для реальных вычислительных алгоритмов проводится анализ погрешностей и устойчивости вычислительного алгоритма. Переход к дискретной математики осуществляется заменой функции непрерывного аргумента функциями дискретного аргумента. Интеграл и производная представлены конечной суммой и разностным отношением, соответственно. Получившаяся модель представляет собой систему алгебраических уравнений, для решения которой с определённой точностью составляется вычислительный алгоритм, который реализуется на вычислительных машинах. При решении больших систем необходимо вычислять собственные значения и вектора матриц, сводить нелинейные системы уравнений к линейным.
При использовании численных методов возникает несколько видов погрешностей. Погрешность округления при "обрезании" дробных знаков, неустранимая погрешность связана с неточностью начальных данных, кроме того, в связи с заменой исходной задачи на приближённую существует погрешность метода.
Для определения величины погрешности пользуются понятиями абсолютной и относительной погрешности, а также предельной абсолютной и относительной погрешности, при этом теория погрешностей определяет изменение величин погрешностей при различных арифметических действиях. Наряду с методами точной оценки погрешностей, в результате которых определяются предельные величины погрешностей, используют статистические методы, позволяющие определить возможность достижения отдельных погрешностей .
Все погрешности, возникающие на всех этапах решения задачи, искажающие результаты вычислений, определяют точность метода.
При анализе точности одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Сходимость - это стремление значений решения метода к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации, например, шага интегрирования.
Также необходимо чтобы задача являлось корректной, то есть чтобы для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво. Иначе возникающие погрешности в расчетах при округлении числа будут стремительно возрастать и таким образом получится неверное решение.
Немало важное характеристика метода - это устойчивость. Которая характеризует чувствительность метода к неточностям в исходных данных. Если малое изменение исходных данных приводит к малым погрешностям в решении, то метод устойчив. Если же малые изменения приводят к значительным погрешностям, то устойчивость отсутствует.
Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью (корректностью) и сходимостью.
В большинстве случаев, кроме точности (сходимости, устойчивости, корректности) необходимо следить за ресурсо-затратностью решения. Применительно к вычислительным задачам трудоемкость определяется объёмом памяти, используемым в процессе поиска решения, и временем, необходимым для выполнения вычислений. Время обычно измеряется в количестве элементарных операций (сложения, умножения, и т.д.), которые необходимо выполнить для решения задачи. Эти характеристики желательно уменьшать построением оптимальных алгоритмов вычисления, не потеряв при этом в точности. К сожалению, часто уменьшение трудоемкости и увеличение точности являются взаимоисключающими параметрами, и главной задачей является найти баланс между ними.
Таким образом современные технологии и изученные методы позволяют исследовать нерешенные задачи, получить качественную оценка и уже полученные решения принимать на практическом использовании в создании чего-либо нового или оптимизации старого. Например, оптимизирование старого оборудования, таким образом, чтобы при меньшей затрате ресурсов получать больше пользы или получении совершенно нового продукта, но также немалую часть занимает и эксперимент для того чтобы подтвердить данные исследования, но с использованием численных методов опять можно уменьшить расход ресурсов, затраченных на эксперименты, проведя математическое моделирование с численным решением, и уже сравнивать с физикой процесса решенной задачи.
В исследовании решалась задача гидроаэромеханики. Теоретическое развитие гидроаэромеханики концентрируется в основном на построении и решении определяющих уравнений, пригодных для различных типов течения жидкости или газа, а также на изучении разного рода аппроксимаций по отношению к этим уравнениям.
Определяющие уравнения ньютоновской гидроаэродинамики - нестационарные уравнения Навье - Стокса - известны уже в течение 150 лет или даже более. Однако разработка укороченных форм этих уравнений по-прежнему остается областью активных исследований.
Экспериментальная гидроаэродинамика сыграла важную роль при проверке справедливости и установлении пределов пригодности различных аппроксимаций по отношению к определяющим уравнениям. Аэродинамическая труба, применяемая как оборудование для проведения эксперимента, является эффективным средством моделирования реальных течений. Однако это бывает затратным. И прибегают к вычислительной гидроаэродинамики. Она дополняет экспериментальную и теоретическую часть, представляя собой альтернативное и экономически эффективное средство моделирования реальных течений. ВГАД (вычислительная гидроаэродинамика ) представляет возможность проверки теоретических приближений к таким условиям, экспериментальное моделирование которых невозможно.
Еще одно преимущество вычислительной гидроаэродинамики состоит в том, что при желании можно отбросить те или иные члены определяющих уравнений. Тем самым открывается путь к опробованию теоретических моделей или, наоборот, выявляются новые пути теоретического исследования.
В производстве вычислительная гидроаэродинамика наиболее
предпочтительное средство проверки качества альтернативных разработок в разных сферах. Например, авиационная промышленность, промышленность турбодвигателей и в несколько меньшей степени в автомобильной промышленности.
Таким образом вычислительная гидроаэромеханика предпочтительнее эксперимента по основным пяти причинам.
1. время предварительной подготовки при проектировании и при разработках существенно уменьшается;
2. ВГАД позволяет моделировать условия течения, не воспроизводимые при экспериментальных испытаниях на моделях;
3. ВГАД позволяет получить более широкую и подробную информацию;
4. стоимостная эффективность экспериментов на основе ВГАД по сравнению с испытаниями в аэродинамических трубах непрерывно повышается;
5. применение методов ВГАД позволяет снизить потребление энергии.
Создание модели для эксперимента оказывается зачастую наиболее медленной стадией этого процесса. Использование вычислительной гидроаэродинамики позволяет испытывать серию альтернативных проектов (например, с различной геометрической конфигурацией) в широком диапазоне значений параметров, таких, как число Рейнольдса, число Маха, угол отклонения потока.
За пределами возможностей большинства экспериментальных установок оказывается также диапазон очень высоких температур, обусловленный взаимосвязью проблем теплопередачи с проблемами обтекания. Далее, некоторые разновидности неустановившегося движения жидкости или газа не удается должным образом моделировать при экспериментах, особенно если движение сопровождается нестационарными изменениями геометрии, как это имеет место для некоторых задач биологической аэродинамики. Кроме того, многие проблемы геофизической аэрогидродинамики оказывается слишком большими или слишком отдаленными в пространстве или во времени, чтобы быть доступными экспериментальному моделированию. Так, например, потоки, возникающие в нефтяных резервуарах, в принципе невозможно подвергнуть точным экспериментальным измерениям. С другой стороны, проблемы астрофизической гидроаэродинамики являются слишком отдаленными в пространстве, тогда как форма кривых, определяющих погоду, должна быть определена до того, как она реализуется. Все эти разновидности движения жидкости или газа являются подходящими для исследования численными методами.
Такие экспериментальные установки, как аэродинамическая труба, оказываются весьма эффективными с целью получения глобальной информации, например, о значениях полной подъемной силы и полного сопротивления, действующих на тело, или о распределении давления на характерных участках его поверхности. Однако нахождение детальных экспериментальных распределений скорости и давления по всей области, окружающей тело, было бы чрезвычайно дорогостоящим и потребовало бы очень много времени. ВГАД дает возможность получить эту детальную информацию без каких-либо дополнительных затрат и, следовательно, позволяет дать более полное представление о тех гидроаэродинамических процессах, которые здесь должны иметь место.
В первой главе говорится о постановке задачи. Рассказывается о самом процессе и необходимых допущениях.
Во второй говорилось о моделировании процесса, о выборе системы уравнений в данном случае уравнения движения Навье-Стокса и уравнение теплопереноса. Их обезразмеривании и выборе системы координат.
В третьей рассматривался алгоритм решения. Рассказывалось о методе об его точности, о решении тестовой задаче с последующим сравнением с аналитикой, получении итерационных схем, замене дифференциальных операторов разностными аналогами с последующей записи этих уравнений в дельта форме. Построение вычисления на разнесенной разностной сетке.
В четвертой главе приведены результаты вычисления, показана картина течения. Так же приводилось тепловая задача с разными граничными условиями на стенках.
В качестве цели исследования было оптимизация процесса получения высокоэнергетических постоянных магнитов, так как многие современные промышленности широко их используют. Они получаются из магнитных материалов, создаваемых на основе редкоземельных металлов, например, Nd, Pr, Sm. Наиболее передовая фторидная технология производства магнитов на основе редкоземельных металлов обладает рядом преимуществ: низкое содержание примесей в сплавах, по сравнению с прямым восстановлением металлов, простота аппаратурного оформления, отсутствие прямого нагревания реактора, что существенно повышает экономичность установки. Существующая конструкция реактора восстановления позволяет получать магнитный материал небольшой массой (менее 5 кг). Ограничения на получение сплава большей массы связаны с тем, что медленное охлаждение такого сплава мешает образованию необходимой магнитной фазы Nd2Fe14B. Для того, чтобы получать слитки большой массы с высокой степенью однородности по химическому и фазовому составу требуется серьезная модернизация имеющегося оборудования внепечного метода получения сплавов и лигатур, один из вариантов заключается в совмещении операций восстановительной плавки и разливки металла в кристаллизатор.
Для первоначальной задачи было необходимо рассмотреть процесс
переливания жидкого метала из тигля в изложницу, а также качественно исследовать тепловую задачу этого процесса, каким образом он будет охлаждаться в этом процессе. При этом в конструкции рассматривалось переливание вязкой несжимаемой жидкости, а кристаллизация в данной работе не учитывалась. Сама конструкция представляла собой плоский канал с резко сужающимся каналом.
Первоначальная задача была создание математической модели гидродинамического и теплообменного процессов, происходящих в области перехода жидкого металла из тигля в изложницу. Это самое сложное место во всей конструкции восстановительного реактора. С одной стороны, при поступлении в изложницу для кристаллизации, металл должен быть предварительно охлажден. Это позволит свести к минимуму время кристаллизации, но с другой стороны, скорость остывания металла не должна превышать некоторого максимума, за которым может произойти кристаллизация в области сужения и произойдет прекращение процесса перелива металла из тигля в изложницу.
В работе создана математическая модель, описывающая движение жидкости в канале с внезапным сужением, на основе найденного поля скорости решается задача конвективного теплопереноса в движущейся жидкости при соответствующих начальных и граничных условиях.
Рассмотрено двухмерное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в вертикальном канале с внезапным сужением. Учитывая симметрию исследуемой области, решение ищем в половине канала до линии симметрии.
Расчет гидродинамики и теплообмена в исследуемом объеме проводится на основе уравнений Навье-Стокса и уравнения переноса тепла, которые представлены в декартовой системе координат и в безразмерной форме. Решение задачи строится в физических переменных «скорость-давление».
Численное решение задачи в переменных «скорость-давление» проводится на основе метода физического расщепления полей скорости и давления. Стационарное решение при таком подходе находится на основе эволюционного метода установления по времени. Нестационарные уравнения переноса интегрируются на основе обобщенного неявного метода переменных направлений в «дельта» форме, который имеет второй порядок точности по времени. Конвективные и диффузионные слагаемые уравнений переноса аппроксимируются с помощью трехточечной разностной схемы, снимающей ограничение с сеточного числа Рейнольдса, и имеющего второй порядок точности по координатам.
Для подтверждения адекватности метода решалась тестовая задача - течение Пуазеля. Были проведены сравнения профиля скорости на выходе, которые показали, что метод может быть использован в задачах такого типа.
Достоверность решения поставленной задачи проводилось с помощью тестовых исследований на сеточную и итерационную сходимость, сравнением полученных численных решений с известными аналитическими зависимостями распределения скорости в плоском канале для случая установившегося течения.
На основе созданной математической модели выполнено параметрическое исследование влияния основных геометрических и расходных параметров на процесс остывания металла. Показана зависимость поля температуры в исследуемой области от коэффициента теплоотдачи на твердой границе.
Купить