ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИКИ В РАСШИРЕННОЙ ТЕОРИИ ЧЕРНА-САЙМОНСА С РЕЗОНАНСОМ

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Свободная модель 9
2 Стабильное взаимодействие 14
3 Гамильтонов формализм 19
4 Резонансный случай 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 34
ПРИЛОЖЕНИЕ А Единственность вершины взаимодействия (2.4) . . 36
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 42
Купить

Теории с высшими производными известны хорошей сходимостью на классическом и квантовом уровне, а также наличием большего количества симметрий. В большинстве случаев эти преимущества сопроваждаются нестабильностью динамики, которая является типичной проблемой для моделей в этом классе. На классическом уровне решения уравнений движения демонстрируют неконтролируемое поведение («коллапс»). На квантовом уровне духовые полюса появляются в пропагаторе, поэтому стабильность динамики - это проблема. Эти особенности вытекают из одного факта: каноническая энергия неограничена в любой неособой теории с высшими производными. Для обзора проблемы можно процетировать недавние статьи, например такие как: [1-3] и ссылки в них. Каноническая энергия особых моделей может быть ограничена. Примером являются f (R) - теории гравитации [4-7]. Эти модели не демонстрируют нестабильность. Проблема устойчивости теорий со связями с высшими производными обсуждается в [8]. В большинстве интересных (ограниченных или неограниченных) моделях, нестабильность имеет особую форму: классическая динамика регулярна (без «обвала»), но каноническая энергия неограничена снизу. Примерами являются: Осциллятор Паиса-Уленбека [^электродинамики Подольского [10] и Ли-Вика [11,12], расширенная теория Черна-Саймонса (РЧС) [13] и конформная гравитация [14]. Из современных исследований можно упомянуть статьи [15-18] и ссылки в них. Ожидается, что во всех этих моделях квантовая теория будет хорошо определена [2,19], а вот применение процедуры канонического квантования, основанной на процедуре Остроградского (канонический гамильтонов формализм для неособой высшей производной теории были впервые предложены в [20]. Его обобщение для сингулярных теорий было разработано в [21]: см. также [22]. Последние исследования см. в [23,24].) приводит к модели с неограниченным снизу спектром энергии. Вот почему устойчивость и единственность квантовой динамики является наиболее важным вопросом.
Недавно стало известно, что динамика теорий с высшими производными может быть устойчивой на классическом и квантовом уровнях, даже если каноническая энергия модели неограничена. Статьи [25,26] объясняют устойчивость теории Пайса-Уленбека с точки зрения существования гамильтоновой формы динамики с ограниченным (неканоническим) гамильтонианом. Квантование модели с альтернативным гамильтонианом приводит к квантовой теории с хорошо определенным состоянием вакуума с наименьшей энергией. В работах [27, 28] используется специальная PT-симметрия для построения устойчивой квантовой механики в модели осциллятора с высшими производными. В статьях [1-3,29] показано, что нелинейные модели с высшими производными могут иметь хорошо определенную классическую динамику без «коллапсирующих» траекторий с нестабильным поведением. В последних статьях существование стабильной классической динамики служит необходимой предпосылкой для построения хорошо определенной квантовой теории. Для изучения теории поля можно сослаться на статьи [30,31]. Все упомянутые в этом абзаце модели имеют одну общую черту: они допускают альтернативную (отличную от канонической энергии) ограниченную снизу сохраняющуюся величину. Квантовая стабильность достигается если модель допускает гамильтонову форму динамики с ограниченной сохраняющейся величиной, являющейся гамильтонианом. Это означает, что стабильная теория с высшими производными характеризуется двумя составляющими: ограниченная сохраняющаяся величина и скобка Пуассона на фазовом пространстве, приводящее уравнения движения к гамильтоновой форме с ограниченным снизу гаильтонианом.
В статье [32] исследуется устойчивость в классе моделей производного типа. На свободном уровне волновой оператор теории задается полиномом (характеристическим полиномом) от еще одного формально самосопряженного оператора более низкого порядка. Показано, что каждая производная теория допускает ряд сохраняющихся тензоров, который включает каноническую энергию-импульс [33]. Число членов в серии растет с порядком характеристического полинома. Хотя каноническая энергия неограничена, другие сохраняющиеся тензоры в ряду можно ограничить снизу [33]. Ограниченная сохраняющаяся величина стабилизирует классическую динамику теории. Квантовая стабильность объясняется существованием якоря Лагранжа, связывающего ограниченную сохраняющуюся величину с инвариантностью модели относительно сдвига по времени. Концепция якоря Лагранжа была предложена в [34] в контексте квантования нелагранжевых теорий поля. Позже было признано, что якорь Лагранжа связывает симметрии и сохраняющиеся величины [35]. В формализме первого порядка якорь Лагранжа определяет скобку Пуассона [36]. Гамильтониан задан сохраняющейся величиной в ряду, выраженной через переменные фазового пространства. Линейная теория высших производных устойчива, если ограниченная сохраняющаяся величина, связанная с трансляцией времени, допускается моделью [32]. В статьях [37,38] рассматривается проблема устойчивых деформаций симметрии и сохраняющиеся величины, сохраняющие устойчивость динамики в классе моделей производного типа. Во всех случаях вершины взаимодействия не возникают из принципа наименьшего действия с высшими производными, но уравнения движения допускают гамильтонову форму динамики. Основная трудность вышеупомянутой процедуры заключается в том, что она не автоматически сохраняет калибровочную инвариантность. Это ограничивает их приложения в классе калибровочных систем.
Модель РЧС [13] - это простейшая калибровочная теория производного типа. В современных исследованиях она часто служит прототипом для класса калибровочных теорий с высшими производными, см. напр. [39-41]. Стабильность модели РЧС впервые была изучена в [33]. Было замечено, что теория порядка pдопускает p — 1 -параметрический ряд сохраняющихся тензоров второго ранга, в который входит каноническая энергия- импульс. Каноническая энергия модели всегда неограничена снизу. Другие тензоры в серии могут иметь ограниченную снизу 00-компоненту. Условия устойчивости теории определяются структурой корней характеристического многочлена [33]. Теория устойчива, если все ненулевые корни характеристики полиномы действительны и различны, а нулевой корень имеет кратность один или два. Устойчивость теории РЧС подтверждена в работе [42]. Модель РЧС оказалась мультигамильтоновой на свободном уровне в [43]. Серия гамильтонианов включает канонический (Остроградский) гамильтониан, который неограничен, а также другие представители, которые могут быть ограниченными или неограничеными в зависимости от параметров модели. Если гамильтониан ограниченный, он обеспечивает устойчивость модели как на классическом, так и на квантовом уровне. Модель допускает включение устойчивых нелагранжевых взаимодействий со скалярными, фермионными и гравитационными полями, которые сохраняют выбранного представителя в ряду сохраняющихся величин свободной модели [38,43,44]. Тем не менее калибровочная симметрия абелева в случае векторного поля во всех этих примерах.
Концепция устойчивого взаимодействия калибровочных полей была разработана в [45]. Устойчивые связи между калибровочными векторами изучались в [46,47]. Показано, что вершина Янга-Миллса единственна в классе ковариантных взаимодействий. Лагранжевы самодействия мультиплета калибровочных векторов, подчиненные уравнениям РЧС на свободном уровне, рассмотрены в статье [42]. Доказано, что наиболее общая устойчивая нелинейная теория обладает калибровочной симметрией Янга- Миллса, а лагранжиан задается коваризацией свободного лагранжиана РЧС. Модель взаимодействия соответствует модели Остроградского, нестабильность присутствует на нелинейном уровне во всех случаях, несмотря на то, что свободная теория устойчива. Этот результат подразумевает невыполнение теоремы об устойчивых лагранжевых взаимодействиях в модели РЧС. Данный вывод является вполне предсказуемым, поскольку лагранжевы связи сохраняют каноническую энергию неограниченную на свободном уровне. Включение нелагранжевых взаимодействий может решить вопрос об устойчивости динамики на взаимодействующем уровне, поскольку такие связи сохраняют ограниченные сохраняющиеся величины. Эта модель устойчива на квантовом уровне, если допускает гамильтонову формулировку с ограниченным гамильтонианом. Однако проблема построения стабильных согласованных нелагранжевых связей (устойчивых или неустойчивых) ранее не изучалась в модели РЧС.
В данной работе рассматривается класс устойчивых самодействий в теории векторных полей. Свободные поля подчиняются уравнениям РЧС третьего порядка. Взаимодействие, в общем случае, нелагранжево. Нелинейные уравнения движения согласованы с калибровочной симметрией Янга-Миллса. Выбранный сохраняющийся тензор второго ранга свободной модели сохраняется за счет связи. В зависимости от значений констант связи, он может быть ограниченным или неограниченным. Вариационная вершина взаимодействия, представленная в статье [42], является нестабильной. Нелагранжево взаимодействие может быть согласовано с существованием ограниченного сохраняющегося тензора. Уравнения движения допускают гамильтонову форму динамики. На массовой оболочке плотность функции Гамильтона задается 00 -компонентой сохраняющегося тензора. В случае лагранжевого взаимодействия строится канонический формализм с неограниченным гамильтонианом Остроградского. Ограниченный гамильтониан не следует из процедуры Остроградского, поэтому имеется неканонический гамильтонов формализм. Во всех случаях матрица скобок Пуассона - невырождена на фазовом пространстве, поэтому модель допускает принцип действия Гамильтона. Квантование действия первого порядка с ограниченным гамильтонианом приводит к устойчивой квантовой теории с определенным вакуумным состоянием.
В случае резонанса, когда корни характеристического многочлена вы-рождены, динамика теории неустойчива уже на свободном уровне. Включение самовзаимодействия не влияет на устойчивость динамики этой модели, потому что сохраняющиеся величины имеют одинаковую структуру в свободном и нелинейном случае. В данной работе рассматривается случай, когда характеристический полином имеет трижды кратный нулевой резонансный корень. Свободное поле подчиняется «трижды безмассовым» уравнениям Черна-Саймонса (ЧС). Волновой оператор свободных уравнений задается кубом оператора ЧС. Для стабилизации динамики на нелинейном уровне применяется механизм Хиггса, описанный в [48]. Вводится дополнительный скаляр, который генерирует такую связь, что энергия взаимодействующей теории достигает локального минимума для некоторого стационарного решения с ненулевыми значениями динамических переменных. Движения малых флуктуаций в окрестности этого решения стабильны, потому что нелинейная теория не имеет резонанса. Динамика флуктуаций допускает гамильтонову форму, причем гамильтониан задается положительно определенной квадратичной формой по полям. Этот означает, что динамика теории с резонансом может быть стабилизирована включением соответствующего взаимодействия.
Работа организована следующим образом. В разделе 2 рассматривается модель РЧС третьего порядка для векторного мультиплета. Особое внимание уделяется структуре симметрий и законов сохранения теории, а также устойчивости динамики. В разделе 3 предлагаются устойчивые самовзаимодействия для мультиплета векторных полей с калибровочной симметрией Янга-Миллса. Взаимодействующая теория допускает выбранный сохраняющийся тензор, который может быть ограниченным или неограниченным снизу в зависимости от значений констант связи. Стабильные взаимодействия неизбежно нелагранжевы. В разделе 4 построен ограниченный гамильтонов формализм для нелинейной модели. Плотность гамильтониана задается 00-компонентой сохраняющегося тензора, выраженной через переменные фазового пространства. В разделе 5 рассматривается вопрос об устойчивости «трижды безмассовой» теории РЧС. Предлагается класс согласующихся со скалярным полем связей, стабилизирующих динамику вблизи положения равновесия. Уравнения движения нелагранжевы, но они допускают гамильтонову форму со связями с ограниченным гамильтонианом. В заключительном разделе подведены итоги.

Купить