Адаптивное управление процессом авторегрессии с ограниченным управлением

Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Построение оценки параметра модели процесса AR(1) по методу усеченного оценивания 8
1.1 Описание алгоритма построения оценки по методу усеченного оценивания 8
1.2 Оценка параметра процесса авторегрессии первого порядка с управлением 9
1.2.1 Оценка параметра AR(1) с постоянным управлением 10
1.2.2 Оценка параметра процесса AR(1) с ограниченным стохастическим управлением 15
2 Свойства усеченных оценок параметра авторегрессионного процесса
первого порядка с управлением 22
2.1 Теорема о свойствах усеченных оценок параметра процесса авторегрессии первого порядка с постоянным управлением 22
2.2 Теорема о свойствах усеченных оценок параметра процесса авторегрессии первого порядка с ограниченным стохастическим управлением 27
3 Результаты имитационного моделирования 33
3.1 TEM - моделирование оценок для процесса с управлением 33
3.2 Результаты имитационного моделирования оценки параметра процесса
AR(1) с постоянным управлением 35
3.3 Результаты имитационного моделирования оценки параметра процесса
AR(1) с ограниченным стохастическим управлением 36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 37
ЛИТЕРАТУРА 38
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Результаты моделирования оценок параметра процесса авторегрессии первого порядка с постоянным управлением 39 
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Результаты моделирования оценок параметра процесса авторегрессии первого порядка с ограниченным стохастическим управлением 43
Купить

Для построения математических моделей во множестве отраслей науки — биологии, медицине, экономике, инженерном деле и других - применяются модели с дискретным временем. Ввиду распространенности такого типа систем прогнозирование с гарантированным качеством для них является важной задачей современной математики. Одной из распространенных моделей с дискретным временем является модель авторегрессии первого порядка AR(1) с управлением
хп = Xx 1 + и , + £п,
n n-1 n-1 bn’
где хп — реализации временного ряда, Ех^ = 0, Ех8 < да;
u I — ограниченное стохастическое управление, | u 1|< U,U- const;
X — неизвестный параметр, условие устойчивости: | X |< 1;
£ — шумы £ образуют последовательность независимо
. ^2 2 ^8
распределенных случайных величин, Е£ = 0,Е£^ = о ,Е£° <да, где
2
дисперсия о известна.
Качество прогнозирования и управления для этой модели зависит от точности оценки параметра X. Для решения этой задачи существует множество методов, в числе которых классический МНК. Оценки, полученные по методу наименьших квадратов, имеют множество полезных для применения на практике асимптотических свойств, в числе которых состоятельность и сходимость в среднеквадратичном [1]. Однако на конечных выборках свойства оценок, полученных по МНК, исследуются с трудом. Для решения проблемы о сохранении асимптотических свойств оценок в случае фиксированной конечной выборки разрабатывались различные методы. В их числе метод усеченного последовательного оценивания, разработанный В.В. Коневым и С.М. Пергаменщиковым [2,3]. Позже В.А. Васильевым была предложена модификация метода усеченного последовательного оценивания — метод усеченного оценивания [4, 5].
МНК дает точный результат при неограниченном росте числа наблюдений. Однако при построении математических моделей случайных процессов на практике объем выборки во многих случаях является конечным и фиксированным. В этом случае для решения прикладных задач может применяться метод усеченного оценивания. В работе В.А.Васильева было показано, что для модели AR(1) асимптотические свойства оценок МНК и метода усеченного оценивания совпадают. Однако на практике часто требуются модели с управлением. Для подготовки основы для решения задачи адаптивного управления авторегрессионным процессом первого порядка с управлением необходимо построить оценку по методу усеченного оценивания для модели AR(1) с ограниченным стохастическим управлением.
Для того, чтобы применение метода усеченного оценивания для исследуемой модели было возможным, рассмотрены асимптотические и не асимптотические свойства оценок, полученных по методу усеченного оценивания и проведено сравнение асимптотических свойств с аналогичными, присущими оценкам, полученным по МНК. Также проведено имитационное моделирование — для подтверждения свойств усеченной оценки и демонстрации зависимости точности моделирования от объема выборки.
Результаты показали, что свойства оценок, полученных по методу усеченного оценивания, совпадают со свойствами оценок по МНК. При этом свойства оценок с увеличением числа наблюдений улучшаются.
Итак, была поставлена задача — исследовать асимптотические свойства оценок параметра модели авторегрессии первого порядка с ограниченным стохастическим управлением, полученных по методу усеченного оценивания. Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:
• Построить оценку параметра авторегрессионного процесса с управлением по методу усеченного оценивания
• Сформулировать теорему об асимптотических и не асимптотических свойствах усеченных оценок параметра авторегрессионного процесса с управлением и привести доказательство ее свойств
• Провести имитационное моделирование, показывающее результаты построения оценок по методу усеченного оценивания для различных объемов выборок для демонстрации свойств оценок
• Сравнить свойства усеченных оценок и оценок, полученных по МНК
Работа состоит из введения, трех глав, заключения.
Во введении раскрывается актуальность применения метода усеченного оценивания параметра авторегрессии первого порядка с ограниченным стохастическим управлением. Названа цель исследования и необходимые для ее достижения задачи. Указаны методы, теоретическая и практическая значимость исследования, описаны основные источники и структура работы.
В первой главе построены оценки параметра авторегрессии первого порядка с ограниченным стохастическим управлением по методу усеченного оценивания.
Во второй главе сформулирована теорема о свойствах усеченных оценок для случая оценивания параметра модели процесса AR(1) с ограниченным стохастическим управлением. Приведено доказательство теоремы. Проведено сравнение свойств усеченных оценок и оценок, полученных по МНК.
В третьей главе представлены результаты имитационного моделирования, подтверждающие результаты аналитического решения. Результаты моделирования представлены в виде графиков.
В заключении приводятся наиболее значимые выводы и результаты исследования, а также описаны перспективы развития работы, начатой в рамках данного исследования.

Купить