Тема: Адаптивное управление процессом авторегрессии с ограниченным управлением

Для построения математических моделей во множестве отраслей науки — биологии, медицине, экономике, инженерном деле и других - применяются модели с дискретным временем. Ввиду распространенности такого типа систем прогнозирование с гарантированным качеством для них является важной задачей современной математики. Одной из распространенных моделей с дискретным временем является модель авторегрессии первого порядка AR(1) с управлением
хп = Xx 1 + и , + £п,
n n-1 n-1 bn’
где хп — реализации временного ряда, Ех^ = 0, Ех8 < да;
u I — ограниченное стохастическое управление, | u 1|< U,U- const;
X — неизвестный параметр, условие устойчивости: | X |< 1;
£ — шумы £ образуют последовательность независимо
. ^2 2 ^8
распределенных случайных величин, Е£ = 0,Е£^ = о ,Е£° <да, где
2
дисперсия о известна.
Качество прогнозирования и управления для этой модели зависит от точности оценки параметра X. Для решения этой задачи существует множество методов, в числе которых классический МНК. Оценки, полученные по методу наименьших квадратов, имеют множество полезных для применения на практике асимптотических свойств, в числе которых состоятельность и сходимость в среднеквадратичном [1]. Однако на конечных выборках свойства оценок, полученных по МНК, исследуются с трудом. Для решения проблемы о сохранении асимптотических свойств оценок в случае фиксированной конечной выборки разрабатывались различные методы. В их числе метод усеченного последовательного оценивания, разработанный В.В. Коневым и С.М. Пергаменщиковым [2,3]. Позже В.А. Васильевым была предложена модификация метода усеченного последовательного оценивания — метод усеченного оценивания [4, 5].
МНК дает точный результат при неограниченном росте числа наблюдений. Однако при построении математических моделей случайных процессов на практике объем выборки во многих случаях является конечным и фиксированным. В этом случае для решения прикладных задач может применяться метод усеченного оценивания. В работе В.А.Васильева было показано, что для модели AR(1) асимптотические свойства оценок МНК и метода усеченного оценивания совпадают. Однако на практике часто требуются модели с управлением. Для подготовки основы для решения задачи адаптивного управления авторегрессионным процессом первого порядка с управлением необходимо построить оценку по методу усеченного оценивания для модели AR(1) с ограниченным стохастическим управлением.
Для того, чтобы применение метода усеченного оценивания для исследуемой модели было возможным, рассмотрены асимптотические и не асимптотические свойства оценок, полученных по методу усеченного оценивания и проведено сравнение асимптотических свойств с аналогичными, присущими оценкам, полученным по МНК. Также проведено имитационное моделирование — для подтверждения свойств усеченной оценки и демонстрации зависимости точности моделирования от объема выборки.
Результаты показали, что свойства оценок, полученных по методу усеченного оценивания, совпадают со свойствами оценок по МНК. При этом свойства оценок с увеличением числа наблюдений улучшаются.
Итак, была поставлена задача — исследовать асимптотические свойства оценок параметра модели авторегрессии первого порядка с ограниченным стохастическим управлением, полученных по методу усеченного оценивания. Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:
• Построить оценку параметра авторегрессионного процесса с управлением по методу усеченного оценивания
• Сформулировать теорему об асимптотических и не асимптотических свойствах усеченных оценок параметра авторегрессионного процесса с управлением и привести доказательство ее свойств
• Провести имитационное моделирование, показывающее результаты построения оценок по методу усеченного оценивания для различных объемов выборок для демонстрации свойств оценок
• Сравнить свойства усеченных оценок и оценок, полученных по МНК
Работа состоит из введения, трех глав, заключения.
Во введении раскрывается актуальность применения метода усеченного оценивания параметра авторегрессии первого порядка с ограниченным стохастическим управлением. Названа цель исследования и необходимые для ее достижения задачи. Указаны методы, теоретическая и практическая значимость исследования, описаны основные источники и структура работы.
В первой главе построены оценки параметра авторегрессии первого порядка с ограниченным стохастическим управлением по методу усеченного оценивания.
Во второй главе сформулирована теорема о свойствах усеченных оценок для случая оценивания параметра модели процесса AR(1) с ограниченным стохастическим управлением. Приведено доказательство теоремы. Проведено сравнение свойств усеченных оценок и оценок, полученных по МНК.
В третьей главе представлены результаты имитационного моделирования, подтверждающие результаты аналитического решения. Результаты моделирования представлены в виде графиков.
В заключении приводятся наиболее значимые выводы и результаты исследования, а также описаны перспективы развития работы, начатой в рамках данного исследования.

Купить

Построив и исследовав свойства усеченных оценок в модели AR(1) c постоянным и ограниченным стохастическим управлением, установлено, что для названной модели метод усеченного оценивания дает оценки с гарантированной точностью в среднеквадратичном смысле при фиксированном объеме выборки. Асимптотические свойства усеченных оценок совпадают со свойствами оценок, полученных по МНК. Также мы представили результаты имитационного моделирования, подтверждающие аналитические результаты.
Безусловно, основные идеи этой работы нуждаются в дальнейшем развитии. Это исследование — первый шаг к решению задачи адаптивного управления AR(1) c постоянным и ограниченным стохастическим управлением и многим другим, столь же значимым для решения задач на практике.

Купить