Применение аттракторов для передачи скрытой информации

Аннотация 2
Введение 6
1 Модели аттракторов 15
1.4. Аттрактор Лоренца 15
1.5 Скрытый аттрактор 15
1.6 Аттрактор Рёсслера 16
1 Нелинейный дискретный аттрактор 17
2 Синтез экстраполятора с неизвестными входами 18
3.1 Постановка задачи 18
3.2 Синтез экстраполятора 19
4 Построение оценок неизвестного входа 21
5 Применение расширенного экстраполятора Калмана для идентификации
параметров аттрактора 22
6 Применение аттракторов для передачи скрытой цифровой информации 25
6.1 Применение расширенного экстраполятора Калмана без оценок неизвестного входа 25
6.2 Применение расширенного экстраполятора Калмана с оценками
неизвестного входа 28
6.3 Применение расширенного экстраполятора Калмана с оценками
неизвестного входа и с дополнительным сглаживанием 27
6.3.1 Исследование работоспособности алгоритма при постоянном неизвестном входе 30
6.3.2 Исследование работоспособности алгоритма при колебательных значениях неизвестного входа 32
6.3.3 Исследование работоспособности алгоритма при кусочно-постоянных значениях неизвестного входа 35
Заключение 39
Список использованных источников и литературы 40
Приложение А Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при постоянном неизвестном входе без использования оценки неизвестного входа 41
Приложение Б Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при постоянном неизвестном входе с использованием оценки неизвестного входа 42
Приложение В Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при постоянном неизвестном входе с использованием оценки
неизвестного входа с дополнительным сглаживанием со скользящим средним 43 Приложение Г Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при постоянном неизвестном входе с использованием оценки неизвестного входа и с дополнительным непараметрическим сглаживанием... 44 Приложение Д Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при колебательном неизвестном входе без использования оценки неизвестного входа 45
Приложение Е Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при колебательном неизвестном входе с использованием оценки неизвестного входа 46
Приложение Ж Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при колебательном входе с использованием оценки неизвестного входа с дополнительным сглаживанием со скользящим средним 47
Приложение З Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при колебательном входе с использованием оценки неизвестного входа с непараметрическим сглаживанием 48
Приложение И Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при ступенчатом неизвестном входе без использования оценки неизвестного входа 49
Приложение К Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при ступенчатом неизвестном входе с использованием оценки неизвестного входа 50
Приложение Л. Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при ступенчатом входе с использованием оценки неизвестного входа с дополнительным сглаживанием со скользящим средним 51
Приложение М. Программа моделирования расширенного экстраполятора Калмана при ступенчатом входе с использованием оценки неизвестного входа с непараметрическим сглаживанием 52
Купить

Аттракторы часто используются для моделирования и реализации детерминированного хаоса [1-3]. Хаотические процессы в детерминированных нелинейных системах - одна из фундаментальных проблем современного естествознания. Убедительно доказано, что в таких системах причина генерирования сложных колебательных процессов кроется не в большом числе степеней свободы и не в наличии флуктуаций, а в экспоненциальной неустойчивости режимов. Возможность подобных явлений понимал и предвидел А. Пуанкаре. В неустойчивых системах "совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное" - так писал он еще в 1908 г. в книге "Наука и метод". Развитие идей Пуанкаре привело к созданию фундамента хаотической динамики детерминированных систем. Как оказалось, необходимым условием возникновения хаоса в динамических системах является размерность фазового пространства N = 3, то есть, когда состояние системы характеризуется минимум тремя переменными.
В системах с двумя переменными состояния, фазовым пространством которых служит двумерная плоскость, возможные динамические режимы исчерпываются положениями равновесия и периодическими колебаниями (предельными циклами). Это обстоятельство многие годы служило психологическим барьером, преодолению которого не помогали даже очевидные экспериментальные результаты. Ограниченность "нелинейного мышления" на базе фазовой плоскости понимали многие ведущие ученые, однако из-за отсутствия соответствующего математического аппарата обоснованный выход с плоскости в пространство трех и более измерений был практически невозможен.
Важным понятием является детерминированный хаос. Когда говорят о детерминированности, подразумевают однозначную взаимосвязь причины и следствия. Если задано некоторое начальное состояние системы при t = to , то оно однозначно определяет состояние системы в любой момент времени t > to . Например, если тело движется равноускорено, то его скорость определяется детерминированным законом
u (t) = u (t0) + at
При задании начальной скорости u(to) мы однозначно определяем значение скорости u(t) в любой момент времени t > t0.
В общем случае зависимость будущего состояния x(t) от начального x(to) можно записать в виде x(t) = F[x(to)], где F - детерминированный закон, который осуществляет строго однозначное преобразование начального состояния x(to) в будущее состояние x(t) для любого t > to .
Рассмотрим понятие хаос. Проведем мысленный эксперимент с броуновской частицей. Поместим частицу в момент t = to в раствор жидкости и с помощью микроскопа начнем фиксировать ее положение во времени, отмечая координаты частицы через равные интервалы Dt. Нетрудно убедиться, что под действием случайных толчков со стороны окружающих молекул частица будет совершать нерегулярные блуждания, которые характеризуются запутанной траекторией. Повторим эксперимент несколько раз подряд, осуществляя в пределах возможностей воспроизводство начальных условий опыта. Будем иметь два результаты. Первый - каждый раз траектория движения частицы будет сложной, непериодической; второй - любая попытка однозначного повторения опыта приведет к отрицательному результату. Каждый раз при повторении опыта с одинаковыми (в пределах наших возможностей) начальными условиями мы будем получать различные траектории движения частицы. Классическое явление движения броуновской частицы дает четкие физические представления о хаосе как о непредсказуемом, случайном процессе. Если говорится о хаосе, мы подразумеваем, что изменение во времени состояния системы является случайным (его нельзя однозначно предсказать) и невоспроизводимым (процесс нельзя повторить).
Понятия детерминизм и хаос прямо противоположны по смыслу. Детерминизм ассоциируется с полной предсказуемостью и воспроизводимостью, хаос - с полной непредсказуемостью и невоспроизводимостью.
Перейдем к понятию устойчивости (неустойчивости) движения. Рассмотрим состояние покоя или равновесия системы. Поместим маленький шарик в нижнюю точку внутри полой сферы. Слегка толкнем его и понаблюдаем за движением. После совершения нескольких затухающих колебаний шарик вновь займет положение на дне сферы. Положение равновесия устойчиво: малые возмущения исходного состояния затухают во времени. Если мы поместим шарик на вершину сферы (снаружи), то реакция на малое возмущение будет иной: при сколь угодно малом отклонении шарика от состояния равновесия он скатывается с вершины. Это положение равновесия неустойчиво: малые возмущения нарастают во времени.
Физический смысл понятия "устойчивость" ("неустойчивость") применительно к состоянию равновесия сохраняется и в отношении любого другого режима. Режим функционирования динамической системы называют устойчивым, если малые возмущения затухают во времени, стремясь к нулю. Если этого не происходит и малые отклонения от режима функционирования системы нарастают во времени, такой режим будет неустойчивым.
Рассмотрим неустойчивую детерминированную систему с учетом нелинейного ограничения нарастаний возмущений. Для простоты рассмотрим состояние равновесия, которому отвечает точка в пространстве фазовых координат системы. Если вывести систему из равновесия малым отклонением. Это возмущение начнет нарастать в силу неустойчивости. Далее нарастание возмущения начнет замедляться (вступит в силу механизм нелинейного ограничения). Чего можно ожидать в этой ситуации? В силу нелинейного ограничения отклонение уменьшится строго до нуля, система вернется в исходное состояние равновесия. Теоретически это возможно, однако очень маловероятно, так как исходное состояние равновесия неустойчиво. Более вероятна другая ситуация: система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Этот процесс будет длиться бесконечно во времени. Но реализация такого процесса требует некоторых специальных условий.
Предположим, что мы имеем дело с двумерной дифференциальной динамической системой. Пространство ее состояний - фазовая плоскость с координатами x и y. Если малое возмущение состояния равновесия в такой системе будет нарастать, а в результате нелинейного ограничения далее уменьшаться, то возможны два варианта: появление новых устойчивых состояний равновесия вблизи неустойчивого либо переход в новый режим, отвечающий периодическим колебаниям.
Второй вариант. При малых амплитудах возмущения траектория по спирали удаляется от точки равновесия. При больших отклонениях траектория возвращается. Вместо неустойчивого состояния равновесия появляется новый режим - периодические автоколебания, которым отвечает предельный цикл G на фазовой плоскости.
Неустойчивость состояния равновесия в двумерной нелинейной системе порождает режим устойчивых периодических колебаний. Если представить иную ситуацию, когда отклонение от состояния равновесия вначале нарастает, а затем в силу нелинейности вновь стремится к нулю, получается противоречие, заключающиеся в том, что фазовые траектории должны пересекаться. Из этого следует, что существуют различные начальные условия, приводящие в итоге к одинаковым состояниям. Это невозможно в силу теоремы единственности решения: при заданных начальных условиях оно должно существовать и быть единственным.
Картина принципиально изменится, если рассмотреть динамическую систему, состояние которой характеризуется тремя независимыми переменными (фазовыми координатами). Можно реализовать ситуацию в пространстве трех измерений. Траектория раскручивается в трехмерном пространстве, удаляясь от точки равновесия по спирали. Достигнув некоторых значений и испытывая действие механизма нелинейного ограничения, траектория вновь вернется в окрестность исходного состояния. Далее ввиду неустойчивости процесс будет повторяться. Возможны два варианта: траектория спустя конечное время замкнется, демонстрируя наличие сложного, но периодического процесса; траектория будет воспроизводить некий апериодический процесс, если при t замыкания не произойдет.
Второй случай и отвечает режиму детерминированного хаоса. Действительно, работает основной принцип детерминизма: будущее однозначно определено начальным состоянием. Однако процесс эволюции системы сложный, непериодический. Чисто внешне он ничем не отличается от случайного. Но при более детальном анализе вскрывается одно важное отличие этого процесса от случайного - этот процесс воспроизводим. Действительно, повторив еще раз начальное состояние, в силу детерминированности можно воспроизвести ту же самую траекторию независимо от степени ее сложности. Это означает, что непериодический процесс не является хаотическим в смысле определения хаоса, данного выше. Это сложный, похожий на случайный, но тем не менее детерминированный процесс. Здесь важно то, что он характеризуется неустойчивостью и это обстоятельство позволяет отметить еще одно принципиально важное свойство систем с детерминированным хаосом, это перемешивание.
Установлено, что в динамических системах, размерность фазового пространства которых N = 3, теоретически возможен режим сложных непериодических пульсаций. Этот тип движения детерминирован и характеризуется неустойчивостью.
Рассмотрим в качестве начального состояния не точку с определенными координатами в пространстве состояний xo, а малую сферу радиуса R > 0, окружающую эту точку. Любая точка внутри сферы характеризует малое отклонение от хо. Сфера включает совокупность возможных отклонений от исходного состояния, не превышающих по модулю e. Теперь проследим за трансформацией этой сферы во времени (вдоль траектории). В силу устойчивости выбранного нами режима любое малое отклонение во времени должно затухать. Это означает, что под действием детерминированного закона эволюции шарик радиуса R во времени будет уменьшаться и при t >/ его радиус уменьшится до нуля. Исходный фазовый объем в диссипативных системах во времени уменьшается. А если исходный режим неустойчив, то фазовый объем может увеличиваться до бесконечности, если неустойчивая система линейна. Но если система нелинейная и диссипативная, то процесс эволюции начального малого фазового объема будет нетривиальным.
Неустойчивость режима ведет к росту возмущений. Это одно обстоятельство. Второе - диссипативные системы вне зависимости от вида устойчивости вызывают уменьшение элемента фазового объема во времени до нуля, что обусловлено потерями энергии. Существует единственное решение этой проблемы: элемент фазового объема по некоторым направлениям должен растягиваться, а по другим - сжиматься, причем степень сжатия в среднем должна обязательно преобладать над степенью расширения, чтобы в итоге фазовый объем во времени уменьшался. В нелинейных диссипативных системах это оказывается возможным. В силу наличия механизма нелинейного ограничения фазовая траектория сложного режима колебаний сосредоточена в ограниченной области фазового пространства. При этом любая малая окрестность исходного начального состояния эволюционирует так и в итоге перемещается по всей области, занятой траекторией.
В качестве иллюстрации рассмотрим следующий эксперимент. В стакан с водой помещается маленькая чаинка и размешивается вода ложкой, вызвав неустойчивость. Чаинка будет при этом двигаться по сложной спиралеобразной траектории, которая обусловлена движением воды в стакане. При этом в любой заданный момент времени мы теоретически можем зафиксировать ее координаты x(t) в объеме воды. Теперь вместо чаинки поместим в стакан с водой очень маленькую капельку чернил и вновь размешаем воду. Чернила практически равномерно разбегутся по всему объему воды, слегка окрасив ее. Частички чернил, первоначально сосредоточенные в маленьком объеме капельки, спустя время перемешивания можно будет обнаружить в любой части объема воды в стакане. В жизни этот процесс мы называем перемешиванием. В математике это понятие также существует и с точки зрения физической интерпретации оказывается близким по смыслу. Действительно, поток воды в стакане, созданный движением чайной ложки, можно интерпретировать как действие детерминированного закона, определяющего динамическую систему. Чаинка при этом будет двигаться по сложной, но детерминированной траектории. А капелька чернил, которую можно интерпретировать как некий маленький объем в фазовом пространстве вокруг чаинки, перемешается во всем объеме воды.
Таким образом, в неустойчивых режимах в детерминированных нелинейных системах с перемешиванием можно предсказать будущее состояние однозначно только в случае строгого задания начальных условий. Однако если учесть сколь угодно малую ошибку (то есть рассмотреть капельку чернил вместо чаинки), то детерминированное предсказание становится невозможным. Малая область первоначальной неопределенности размывается за счет перемешивания на конечную область в фазовом пространстве. Получается, что процесс ассоциируется с настоящей случайностью, с настоящим хаосом.
Основным свойством динамических систем, демонстрирующих режим детерминированного хаоса, является чувствительная зависимость режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий. Именно это обстоятельство ведет к потере детерминированной предсказуемости и необходимости вводить вероятностные характеристики для описания динамики таких систем. Термин детерминированный хаос определяет рождение случайного, непредсказуемого поведения системы, управляемого детерминированными законами.
Неопределенность в задании начального состояния - ситуация вполне реальная с точки зрения физики. В силу конечной точности регистрации состояния любыми приборами оно определяется с конечной (пусть сколь угодно малой) ошибкой. Это означает, что нужно анализировать эволюцию во времени не начальной точки, а начальной области вокруг этой точки.
Итак, можно сделать следующие выводы:
1. В дифференциальных системах с размерностью фазового пространства N=3 теоретически возможны установившиеся непериодические режимы колебаний.
2. Принципиальной особенностью таких колебаний является их неустойчивость, что приводит к чувствительной зависимости динамики системы от малых возмущений.
3. Неустойчивость нелинейной системы в совокупности с ограниченностью энергии колебаний может вызывать перемешивание.
4. Наличие перемешивания приводит к необходимости введения статистического описания динамики детерминированных систем со странными аттракторами как наиболее удобного.
Перечисленные результаты показывают, что режимы
функционирования детерминированных нелинейных систем со странными аттракторами действительно обладают специфическими свойствами, совокупность которых включается в понятие детерминированного хаоса.

Купить