Введение 3
Глава 1. Обзор литературы 6
Глава 2. Математическая постановка задачи 9
Глава 3. Приближенный аналитический метод решения задачи 11
3.1. Представление решения задачи в виде рядов Фурье 11
3.2. Методы вычисления определенных интегралов от сильно осциллирующих функций 16
3.3. Методы решения СЛАУ 20
Глава 4. Программирование 23
Глава 5. Результаты 25
Заключение 28
Список литературы 29
Томография — это метод исследования внутренних структур объекта путем регистрации и анализа пучков излучения, прошедших через объект под различными углами. В данной работе рассматривается электроимпедансная томография (ЭИТ). Этот метод визуализации впервые применялся в геофизической визуализации. Исследования в области пассивных электрических свойств биологических объектов были начаты в 1910 г. немецким физиком Вальтером Нернстом [1]. Данная методика позволяет визуализировать пространственное распределение электрического импеданса (или проводимости) внутри объекта, в частности внутри тела человека, по результатам неинвазивных электрических измерений. Его суть заключается в том, что электрические токи могут проникать через ткани разного типа с разной скоростью и сопротивлением. Путем измерения электрической проводимости тканей можно получить данные об их структуре и составе. Данные измерения можно выполнить, используя электроды, расположенные на поверхности тела пациента. К достоинствам метода ЭИТ можно отнести много факторов. Например, безвредность как для обслуживающего персонала, так и для пациента. По этой причине отмечается широкое применения у новорожденных. Однако у данного метода есть и недостатки. Один из основных - низкое разрешение изображений по сравнению с другими методами, такими как компьютерная или магнитно-резонансная томографии. Также имеется большая чувствительность к шумам, что затрудняет интерпретацию полученных данных. Изучение математических основ томографии позволяет улучшить качество изображений, сократить время и затраты на исследования, а также разрабатывать более эффективные способы восстановления данных. Различные методы математики, такие как преобразование Фурье, алгоритмы оптимизации, численные методы и теория вероятностей, применяются для интерпретации собранных данных и создания изображений. Математика и томография тесно взаимосвязаны между собой. Для научных исследований создаются специальные системы. Пример представлен на рисунке 1[2].
Численное решение математических задач, возникающих в области электроимпе- дансной томографии, требуют специальных методов и представляют большую сложность вычисления. Задачи имеют большое практическое значение, и их решения могут найти применение в различных областях науки и техники. Основываясь на современном состоянии проблемы, можно сделать вывод, что актуальна разработка новых подходов решения математических моделей рассматриваемых процессов и устройств для повышения точности реконструкции изображений.
Одной из широко исследуемых моделей ЭИТ является модель, содержащая уравнения в частных производных эллиптического типа с кусочно-постоянной электрической проводимостью с полной электродной моделью, которая математически может быть представлена в виде смешенных граничных условий.
Цель данного исследования заключается в получении приближенного численного
решения уравнения эллиптического типа в неоднородном круге со смешанными граничными условиями.
Данная выпускная квалификационная работа состоит из следующих частей:
1) Введение, в рамках которого представлены: область исследования, актуальность работы и ее цель.
2) Обзор изученной литературы и источники информации, рассмотренные для формулировки задачи для данного исследования.
3) Математическая постановка задачи для дальнейшей работы.
4) Приближенный аналитический метод решения задачи, который включает в себя представление решения в виде рядов Фурье, интегрирование сильно осциллирующих функций и решения СЛАУ двумя методами.
5) Создание компьютерной программы с использованием параллельных технологий для решения поставленной задачи.
6) Результаты, включающие тестирование программы и исследования полученных данных.
7) Заключение с подведением итогов выполненной работы.
8) Список литературы и приложения.
В результате выполнения работы получено новое приближенное решение прямой смешанной задачи ЭИТ для полной электродной модели с неконцентрической вставкой со смещённым центром. Изучены материалы в области электроимпедансной томографии. На практике применены методы приближенных вычислений интегралов от сильно осциллирующих функций различного вида и выбран более точный метод для конкретно поставленной задачи в данной работе. При решении плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений используется сразу два метода: итерационный метод решения BICGStab и прямой метод Гаусса с выбором главного элемента, которые показывают одинаковые результаты вычислений.
Решается задача с помощью параллельного программирования на электронно-вычислительных машинах (ЭВМ). Написана программа на языке С++ с использованием параллельных технологий OpenMP, которая использует многоядерный многопроцессорный компьютер с общей памятью. Это существенно сокращает время выполнения работы, что является немаловажным фактором при большом количестве расчетов.
Проведено тестирования полученных данных, результаты которого оказались успешными, абсолютная погрешность ~ 5*10-4. Таким образом, можно сделать вывод, что найденное решение является достаточно точным и может использоваться для дальнейших исследований и практических применений.
