Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 7
1 Реальная модель системы как пример объекта исследования 10
2 Математическая модель сервиса чат-бота с обращением к оператору в виде
тандемной гибридной системы массового обслуживания с повторными вызовами 15
2.1 Описание модели 15
2.2 Исследование системы методом асимптотического анализа 24
2.2.1 Асимптотика первого порядка 24
2.2.2 Асимптотика второго порядка 27
2.3 Построение дискретного распределения, аппроксимирующего стационарное распределение вероятностей числа заявок на орбите 34
3 Имитационная модель тандемной гибридной системы массового
обслуживания с повторными вызовами 37
3.1 Методика проведения имитационного моделирования 37
3.2 Алгоритм моделирования 38
3.3 Основные объекты системы и их взаимодействие 41
3.3.1 Класс случайного генератора 41
3.3.2 Класс входящего потока 41
3.3.3 Класс бункера 42
3.3.4 Класс приборов обслуживания 42
3.3.5 Класс орбиты 43
3.3.6 Класс имитационной модели 44
3.3.7 Общая диаграмма классов 46
3.4 Инструменты реализации имитационной модели 47
3.5 Интерфейс приложения 48
3.6 Стабильность результатов имитационного моделирования 51
4 Численный анализ области применимости асимптотического результата . . 54
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 60
Много лет назад, когда вы слышали о системах массового обслуживания (СМО), вы представляли очередь в магазине. Вначале изучения теории массового обслуживания, нам представлялся call-центр [1]. А теперь в этом мы нашли работу чат-ботов. Как вы могли бы уже заметить, данная область очень востребована в связи с огромным развитием различных обслуживающих систем в мире. СМО очень плотно вошли в разные сферы деятельности человека, например, в экономические (производство, техника, военная область, быт и др.) [2, 3, 4, 5] и предназначены для многократного использования при выполнении однотипных задач.
Теория массового обслуживания (ТМО) представляет собой теоретические основы эффективного конструирования и эксплуатации СМО. В основу ТМО легла теория потоков однородных событий, разработанная советским математиком А. Я. Хинчиным [6]. СМО могут быть трех видов: с ожиданием, с частичными потерями или без очередей [7]. В первом случае заявка, пришедшая в момент, когда нужный прибор занят, остается ждать момента обслуживания. Во втором случае она «встает в очередь», если она не заполнена, иначе «покидает систему». В третьем случае заявка «покидает систему».
В середине 20-го века большую роль стали играть телекоммуникационные системы [8, 9, 10], для которых, в отличии от классических СМО, характерна ситуация, когда заявка, заставшая обслуживающий прибор занятым, не встает в очередь, а уходит на орбиту, откуда через некоторые промежутки времени предпринимает попытки вновь обратиться за обслуживанием. Такие модели описываются в виде СМО с повторными вызовами [11, 12, 13].
СМО с повторными вызовами - математическая модель, применяемая для анализа и оптимизации различных телекоммуникационных систем. Характерная черта данной модели заключается в наличии повторных обращений заявок к прибору после неудачной попытки обслуживания спустя некоторое случайное время. Такие ситуации могут быть вызваны не только отсутствием свободных серверов в моменты поступления заявок в систему, но и техническими причинами.
В данной работе исследуются тандемные СМО, содержащие бункер с конечным числом мест для ожидания перед первой фазой и орбиту на второй фазе. Из-за различий дисциплин ожидания система была названа гибридной [14, 15, 16]. В прошлом году в рамках курсовой работы была рассмотрена СМО с повторными вызовами [17] в которой нет вероятностного перехода. В рамках данной работы мы внесли изменение, таким образом, что работа, выполненная ранее, является частным случаем данной. Мы добавили вероятностный переход с первой на вторую фазу, благодаря чему можем смоделировать реальную систему обслуживания клиента чат-ботом на первой фазе и, при необходимости, оператором на второй. Благодаря чему сможем исследовать как это влияет на загруженность оператора.
Целью данной работы является построение и исследование математической модели сервиса чат-бота с обращением к оператору для демонстрации улучшения производительности работы чат-бота в виде тандемных гибридных систем массового обслуживания с повторными вызовами и нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите в предложенных моделях методом асимптотического анализа [15, 18]. А также проверка полученных аналитических результатов при помощи разработанного приложения для имитационного моделирования. Задачи исследования:
1) Построить математическую модель сервиса чат-бота с обращением к оператору в виде тандемной гибридной системы массового обслуживания с повторными вызовами;
2) Исследовать математическую модель методом асимптотического анализа;
3) Спроектировать и реализовать имитационную модель системы;
4) Оценить применимость полученного асимптотического решения на базе результатов имитационного моделирования.
Мы можем смоделировать любой процесс, изучая СМО, что позволяет нам спрогнозировать работу рассматриваемой системы.
В первой главе описана модель реальной системы как пример объекта исследования. Вторая глава содержит описание математической модели, постановку задачи, вывод системы дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа заявок на орбите, нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите методом асимптотического анализа. Третья глава работы демонстрирует проектирование и реализацию имитационной модели исследуемой системы для получения эмпирического распределения числа заявок на орбите. В четвертой главе приведен анализ области применимости асимптотического распределения числа заявок на орбите с помощью результатов, полученных методом имитационного моделирования.
В данной выпускной квалификационной работе бакалавра была рассмотрена тандемная гибридная система массового обслуживания с повторными вызовами как модель сервиса чат-бота с обращением к оператору. Используя метод асимптотического анализа в условии большой задержки на орбите, получена гауссовоская характеристическая функция с асимптотическим средним щ/о и дисперсией к2/о числа заявок на орбите исследуемой системы. На основе асимптотического распределения построена аппроксимация числа заявок на орбите в исследуемой системе.
Также была спроектирована и реализована имитационная модель исследуемой системы для нахождения эмпирического распределения вероятностей числа заявок на орбите в виде десктопного приложения с пользовательским интерфейсом Windows Forms на языке C#. В основу моделирования был положен дискретно-событийный подход, который позволяет значительно ускорить время сбора статистических данных, необходимых для получения искомого распределения. Стабильность результатов моделирования определена по критерию расстояния Колмогорова, которое не превышает значения 0,002, при времени моделирования T=50 000 000.
Исследование области применимости асимптотических результатов на основе результатов, полученных методом имитационного моделирования, показало, что точность аппроксимации растет с уменьшением интенсивности повторных вызовов.
Также полученное распределение вероятностей числа заявок на орбите позволило продемонстрировать, что введение не самого умного бота в разы уменьшает нагрузку на оператора.
Имитационная модель тандемной гибридной системы массового обслуживания, изложенная в третьей главе, была представлена на 58
Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 26-28 мая 2022 г. Доклад награжден дипломом.
