Аннотация 2
Введение 7
1 Обзор литературы 10
2 Модели, процедуры и их характеристики 14
2.1 Общая характеристика используемых процедур 14
2.2 Постановка задачи 15
2.3 Построение решающей процедуры 16
2.4 Исследование свойств построенной процедуры 18
2.5 Ослабление условий 21
2.6 Классическая процедура для детерминированной разладки .... 24
2.7 Непараметрический CUSUM для детерминированной разладки . 25
3 Результаты моделирования 27
3.1 Задачи, стоящие перед моделированием 27
3.2 Модель №1 - вектор параметров изменяется вдоль известного
вектора от начального вектора параметров 28
3.3 Модель №2 - вектор параметров изменяется вдоль известного
вектора от конечного вектора параметров 35
3.4 Модели №3, 4, 5 детерминированной регрессии и их процедуры 40
3.5 Результаты моделирования для моделей № 3-5 45
Заключение 60
Литература 61
Приложение А Результаты имитационного моделирования 62
Актуальность темы исследования. Многие прикладные задачи, встречающиеся в практической деятельности человека, можно рассматривать как примеры задач о разладке случайного процесса. Под разладкой понимается такой момент времени, когда характеристики, а, может, и сам вид случайного процесса претерпевают изменения. При этом человеку или машинному комплексу по наблюдениям за реализациями такого процесса требуется определить как можно быстрее этот момент. Приведем ряд примеров[6, 15-16].
Во-первых, пусть имеется некоторый технологический процесс, для которого спецификацией задан определенный набор параметров нормального функционирования. Но в некоторый момент времени происходит сбой в системе - вместо нормальной продукции появляется брак. В данном случае по наблюдениям за состоянием технологического процесса требуется как можно быстрее определить момент поломки.
Во-вторых, при изучении земной коры ученые фиксируют определенные процессы, происходящие в недрах Земли. По многочисленным наблюдениям можно указать стандартный вид такого процесса. Для обеспечения безопасности крайне важно уметь определять момент изменений свойств такого процесса - это дает возможность предсказывать такое губительное явление как землетрясение.
В-третьих, в радиолокации возникает проблема обнаружения движущейся цели на фоне шума (атмосферы, гидросферы) - это тоже пример изменения свойств поступающего сигнала.
В-четвертых, многие задачи изучения кардиограмм или энцефалограмм сводятся к обнаружению изменений характеристик некоторого сигнала.
Наконец, задачи, связанные с распознаванием речи, требуют для своего решения возможность деления речи на отдельные слова.
Эти и другие задачи требуют в качестве своего решения нахождение процедуры, которая по наблюдениям за процессом, сможет определить момент разладки с максимальной эффективностью. За время с 30-х годов прошлого века было предложено множество формализаций изучаемых процессов, процедур обнаружения разладки, при этом общепринято выделять две основные характеристики таких процедур[15-16]. Первая связана с тем фактом, что процедура должна обнаружить момент разладки как можно быстрее - математически это формализуется в виде среднего времени запаздывания - то есть среднего времени от момента разладки до его обнаружения. С другой стороны, построенная процедура должна как можно меньше ошибаться, то есть выдавать меньше ложных тревог - поэтому вторая важная характеристика процедуры - это среднее время между ложными тревогами. Идеальная процедура не должна вообще давать ложных тревог и моментально реагировать на разладку. Такие характеристики тесно связаны с понятием ошибок первого и второго рода при изучении статистических гипотез.
Особое значение для рассматриваемой проблемы имеют непараметрические процедуры - так как на практике почти никогда не известны точные распределения помех и тем самым самих случайных процессов. При этом мы можем знать структуру процесса, например, процесс авторегрессии[7, 8], но не знать его параметры и распределения помех.
Степень научной разработанности темы исследования. Задачей о разладке занимались многие ученые, особо можно выделить В. Шухарта, Е. Пейджа, Д. Лордена, М. Поллака, А.Н. Ширяева, А.И. Тартаковского, М. Бассевиль, Д. Мустакидеса, Т. Лая, И.В. Никифорова, В.В. Конева, С.Э. Воробейчикова. Ими были предложены и исследованы процедуры для обнаружения разладки в процессах разной структуры и в условиях разной априорной информации.
При этом часто полное исследование по строенных процедур возможно лишь в относительно простых случаях. В о стальных же единственным возможным вариантов проверки адекватности процедуры является проведение имитационного моделирования. Оно позволяет провести проверку работоспособности алгоритмов без существенных ограничений. Более того особенно остро встает вопрос, связанный с устойчивостью этих процедур относительно ошибок в определении моделей.
Цель и задачи выпускной квалификационной работы. Целью выпускной квалификационной работы является проверка адекватности непараметрической процедуры CUSUM для обнаружения разладки в процессах стохастической регрессии. Для достижения этой цели необходимо выполнение следующих основных задач:
1. Выбрать исследуемые модели процесса авторегрессии и детерминированной регрессии.
2. Построить непараметрические процедуры для обнаружения разладки для выбранных моделей.
3. Провести, по-возможности, теоретическое исследование построенных процедур.
4. Провести экспериментальное исследование данных процедур.
5. По результатам численных экспериментов определить адекватность процедур для обнаружения разладки.
В данной работе рассматривалась непараметрическая процедура CUSUM для обнаружения момента разладки. Было рассмотрено несколько различных моделей, для них построены решающие процедуры. Для первой процедуры была доказана логарифмическая асимптотика сверху. Для всех процедур было проведено экспериментальное исследование. Результаты моделирования говорят об адекватности этой процедуры. Также был рассмотрен аналог этой процедуры, который строился на квантованных статистиках. Он также оказался адекватным.
В качестве проверки на устойчивость процедуры были использованы мультипликативные помехи к параметрам авторегрессии до и после разладки. Процедура CUSUM оказалась устойчивой к таким помехам.
В качестве итогового вывода можно утверждать, что непараметрическая процедура CUSUM способна качественно работать и при неполной априорной информации о конечных параметрах, и при небольших отклонениях в значениях таких параметрах.
