Исследование квазиклассических асимптотических решений нелокального одномерного уравнения Фишера-КПП
|
1 Введение 3
1.1 Краткая схема метода 4
2 Нелокальное уравнение Фишера-КПП:
квазиклассическое приближение 6
3 Система Эйнштейна-Эренфеста 9
4 Квазиклассическое приближение к вспомогательной линейной задаче 16
5 Квазиклассическая асимптотика ассоциированного
линейного уравнения 19
6 Члены старшего порядка квазиклассических решений 23
7 Визуализация частных решений 31
Заключение 39
Список использованной литературы 41
1.1 Краткая схема метода 4
2 Нелокальное уравнение Фишера-КПП:
квазиклассическое приближение 6
3 Система Эйнштейна-Эренфеста 9
4 Квазиклассическое приближение к вспомогательной линейной задаче 16
5 Квазиклассическая асимптотика ассоциированного
линейного уравнения 19
6 Члены старшего порядка квазиклассических решений 23
7 Визуализация частных решений 31
Заключение 39
Список использованной литературы 41
Интегро-дифференциальные уравнения типа реакция - диффузия являются теоретической основой для изучения нелинейных явлений с дальнодействующими взаимодействиями в физике конденсированных сред, химической кинетике, популяционной биологии и других областях нелинейной науки.
Нелокальные версии классического популяционного уравнения Фишера [2] и Колмогорова - Петровского - Пискунова [3] (Фишера-КПП, Ф-КПП) могут описывать нелинейные явления, присущие реакционно-диффузионным системам, динамику популяций одного вида в плане формирования популяционных моделей [4] [5], кластеризацию [5], распространение бегущих и спиральных волн [4,7] и устойчивость стационарных состояний [8].
При изучении нелинейных явлений процессы формирования структур представляют особый интерес. Пространственные или пространственно-временные структуры могут возникать в нелинейных системах, находящихся далеко от состояния равновесия, когда система находится в нестабильном состоянии. В условиях, когда нестабильность может нарушить однородность, система переходит в пространственно неоднородное устойчивое состояние, которое определяется как пространственная структура. Знание этих особенностей нелинейных систем позволяет лучше понять природу их эволюции. Приведенные выше примеры являются по существу частными проявлениями общих явлений формирования паттернов.
Математическое моделирование этих явлений способствует пониманию морфогенеза рака (см., например, [4,9,10]) и роста опухолей [11-13]. Динамика численности популяции при внешних воздействиях представляет особый интерес с точки зрения возможности управления процессом. Внешние факторы моделируются переменными коэффициентами в интегро-дифференциальном уравнении Фишера-КПП. Уравнения этого типа математически сложны, и лишь немногие точные методы доступны для их решения. Уравнение Фишера - КПП с нелокальными [14] членами было рассмотрено в рамках анализа симметрии [15,16]. Следуя этому подходу, можно найти коэффициенты, которые допускают группу симметрии уравнения и построить семейство связанных конкретных точных решений. Решения для бегущих волн были найдены для приведенного уравнения Фишера - КПП, имеющего единственную независимую от волны переменную, которая упрощает построение точного решения в некоторых особых случаях [17-19].
Приближенные методы предоставляют дополнительные возможности при построении аналитических решений. Примером является метод эффективных частиц [20], который на самом деле является известным методом коллективных координат (см. [21] и ссылки в ней). Первоначально он был предложен для уравнений Лагранжа, а затем адаптирован к классическому (локальному) уравнению Фишера - КПП. Метод прост и удобен в использовании, но, к сожалению, точность соответствующих приближенных решений никогда не оценивалась и не обсуждалась. Для решения уравнения Фишера - КПП в исследовании бегущей волны был использован гомотопический анализ (более подробно см., например, [22,23]).
Основная цель работы состоит в том, чтобы изучить и проиллюстрировать методику, позволяющую применять метод комплексного ростка Маслова [24-26] к одномерному нелокальному уравнению Фишера - КПП.
В общем случае для 7/-мерного псевдодифференциального уравнения построение ква- зиклассических асимптотических решений (как для спектральной задачи, так и для задачи Коши) основано на геометрических объектах, таких как так называемые k-мерные лагранжевы многообразия Лк со сложным ростком rn, где k < п. Комплексный росток rn порождается специальным набором линейно независимых решений линейной динамической системы, связанной с исходным уравнением и называемой системой в вариациях.
В данной работе метод комплексного ростка Маслова адаптирован к одномерному нелокальному уравнению Фишера - КПП. С этой целью получена динамическая система Эйнштейна - Эренфеста (система ЭЭ), которая описывает эволюцию центральных моментов решения нелокального уравнение Фишера - КПП. Ключевым моментом предлагаемого подхода является то, что система ЭЭ порождает соответствующие интегралы исходного нелокального уравнения Фишера - КПП. Это позволяет нам перейти к вспомогательной линейной задаче, связанной с рассматриваемым нелокальным уравнением Фишера - КПП. Эта линейная задача решается с помощью операторов симметрии, что позволяет решить задачу Коши для исходного нелокального уравнения Фишера - КПП.
Нелокальные версии классического популяционного уравнения Фишера [2] и Колмогорова - Петровского - Пискунова [3] (Фишера-КПП, Ф-КПП) могут описывать нелинейные явления, присущие реакционно-диффузионным системам, динамику популяций одного вида в плане формирования популяционных моделей [4] [5], кластеризацию [5], распространение бегущих и спиральных волн [4,7] и устойчивость стационарных состояний [8].
При изучении нелинейных явлений процессы формирования структур представляют особый интерес. Пространственные или пространственно-временные структуры могут возникать в нелинейных системах, находящихся далеко от состояния равновесия, когда система находится в нестабильном состоянии. В условиях, когда нестабильность может нарушить однородность, система переходит в пространственно неоднородное устойчивое состояние, которое определяется как пространственная структура. Знание этих особенностей нелинейных систем позволяет лучше понять природу их эволюции. Приведенные выше примеры являются по существу частными проявлениями общих явлений формирования паттернов.
Математическое моделирование этих явлений способствует пониманию морфогенеза рака (см., например, [4,9,10]) и роста опухолей [11-13]. Динамика численности популяции при внешних воздействиях представляет особый интерес с точки зрения возможности управления процессом. Внешние факторы моделируются переменными коэффициентами в интегро-дифференциальном уравнении Фишера-КПП. Уравнения этого типа математически сложны, и лишь немногие точные методы доступны для их решения. Уравнение Фишера - КПП с нелокальными [14] членами было рассмотрено в рамках анализа симметрии [15,16]. Следуя этому подходу, можно найти коэффициенты, которые допускают группу симметрии уравнения и построить семейство связанных конкретных точных решений. Решения для бегущих волн были найдены для приведенного уравнения Фишера - КПП, имеющего единственную независимую от волны переменную, которая упрощает построение точного решения в некоторых особых случаях [17-19].
Приближенные методы предоставляют дополнительные возможности при построении аналитических решений. Примером является метод эффективных частиц [20], который на самом деле является известным методом коллективных координат (см. [21] и ссылки в ней). Первоначально он был предложен для уравнений Лагранжа, а затем адаптирован к классическому (локальному) уравнению Фишера - КПП. Метод прост и удобен в использовании, но, к сожалению, точность соответствующих приближенных решений никогда не оценивалась и не обсуждалась. Для решения уравнения Фишера - КПП в исследовании бегущей волны был использован гомотопический анализ (более подробно см., например, [22,23]).
Основная цель работы состоит в том, чтобы изучить и проиллюстрировать методику, позволяющую применять метод комплексного ростка Маслова [24-26] к одномерному нелокальному уравнению Фишера - КПП.
В общем случае для 7/-мерного псевдодифференциального уравнения построение ква- зиклассических асимптотических решений (как для спектральной задачи, так и для задачи Коши) основано на геометрических объектах, таких как так называемые k-мерные лагранжевы многообразия Лк со сложным ростком rn, где k < п. Комплексный росток rn порождается специальным набором линейно независимых решений линейной динамической системы, связанной с исходным уравнением и называемой системой в вариациях.
В данной работе метод комплексного ростка Маслова адаптирован к одномерному нелокальному уравнению Фишера - КПП. С этой целью получена динамическая система Эйнштейна - Эренфеста (система ЭЭ), которая описывает эволюцию центральных моментов решения нелокального уравнение Фишера - КПП. Ключевым моментом предлагаемого подхода является то, что система ЭЭ порождает соответствующие интегралы исходного нелокального уравнения Фишера - КПП. Это позволяет нам перейти к вспомогательной линейной задаче, связанной с рассматриваемым нелокальным уравнением Фишера - КПП. Эта линейная задача решается с помощью операторов симметрии, что позволяет решить задачу Коши для исходного нелокального уравнения Фишера - КПП.
В данной работе был применен модифицированный метод комплексного ростка Маслова для построения вещественных решений одномерного нелокального уравнения Фишера - КПП (2.1).
Здесь квазиклассическое приближение рассматривается в классе PD траекторнососредоточенных функций (2.3). Ключевым моментом данного формализма является динамическая система Эйнштейна - Эренфеста, описывающая эволюцию моментов. Общее решение ЕЕ системы, с одной стороны, позволяет связать линейное уравнение с исходным уравнением Фишера - КПП, а с другой стороны накладывает алгебраические условия (3.26) для постоянных интегрирования. В результате мы получаем набор функционалов, которые являются интегралами движения уравнения Фишера - КПП.
Исходное нелокальное уравнение Фишера - КПП решается путем подстановки найденных интегралов в решение ассоциированного линейного уравнения. В этой работе был проведен поиск главных членов асимптотического ряда.
Решение линейного ассоциированного уравнения (5.14) находится с помощью набора операторов симметрии (a(±)(t)} вида (6.15), (6.16). Члены высшего порядка определяются путем решения линейной задачи, и не вызывают принципиальных трудностей в нахождении.
Семейство частных асимптотических решений (главных членов), построенных в явном виде в разделе 6, можно считать обладающим свойством полноты в следующем смысле: в нулевой момент времени ( t = 0 ) эти решения образуют базис в L2. Используя этот базис, мы можем найти решения соответствующего линейного уравнения для широкого класса начальных распределений. Тогда решение нелинейного уравнения Фишера - КПП будет сведено к алгебраическим условиям на константы интегрирования динамической ЕЕ системы.
Однако квазиклассическая асимптотика верна только для конечного интервала времени [0, T]. Оценка этого интервала выходит за рамки данного метода и требует дополнительных исследований, поэтому компьютерное моделирование по-прежнему является единственным способом прямой оценки. Отметим, что в частных случаях этот интервал может быть довольно маленьким, т.е. асимптотика будет верна на малых временах. Малость T означает, что пространственная структура не успевает сформироваться в интервале [0, T].
Также в работе были визуализированы асимптотические решения нелокального уравнения Фишера-КПП в явном виде с точностью до O(D3/2) при условиях, указанных в разделе 7.
Из поведения асимптотики (рис. 2, 3) на временном интервале t = [0, 20], можно наблюдать преобразование начального распределения с четным n (а точнее начального распределения с Щ + 1 локальными пиками) в распределение Гаусса. При численном моделировании уравнения (7.1) с начальными условиями V0 (х, 0, Cn) наблюдается та же картина (рис. 4, 5), что и в случае асимптотических решений.
Эти наблюдения позволяют рассмотреть справедливость полученных асимптотических решений на временном интервале t = [0, 20] и дает возможность оценить временной интервал [to, to + At] на котором асимптотика справедлива путем сравнения аналитических и численных решений. Косвенная аналитическая оценка интервала может быть получена путем анализа невязки асимптотического решения.
В случае численного моделирования уравнения (7.1) с начальным условием (7.9) наблюдается картина начального этапа зарождения структуры (рис. 7), так как один локальный пик разбивается на две популяционные волны, бегущие в положительном и отрицательном направлениях вдоль оси х.
Этот пример показывает, что описанный выше метод построения квазиклассической асимптотики «не видит» развернутой стадии появления структур в нелокальной нелинейной модели Фишера-КПП. Также этот пример дает представление о временном интервале действия асимптотики. Что касается «нефизических» отрицательных значений при t = 0 асимптотических решений, показанных на (рис. 2, 3, 5), которые со временем исчезают, отметим, что, как правило, с математической точки зрения аналитические решения априори не обязаны удовлетворять никаким дополнительным условиям. Тем не менее, мы можем избежать этого неудобства несколькими способами. Во-первых, сравнивая аналитические и численные решения, представленные на (рис. 3) и на (рис. 6), мы видим, что отрицательные значения существуют в течение относительно короткого времени и не оказывают существенного влияния на общее поведение эволюции популяционной плотности. Во-вторых, мы можем выбрать начальный момент t0 > 0, начиная с которого в u(x,t0) нет отрицательных значений. В-третьих, представленная выше теория квазиклассической асимптотики обладает специальным нелинейным принципом суперпозиции, который позволяет нам построить подходящую линейную комбинацию приведенных выше асимптотик, которая положительна при t0 = 0 и отрицательные значения не появятся в процессе эволюции.
Здесь квазиклассическое приближение рассматривается в классе PD траекторнососредоточенных функций (2.3). Ключевым моментом данного формализма является динамическая система Эйнштейна - Эренфеста, описывающая эволюцию моментов. Общее решение ЕЕ системы, с одной стороны, позволяет связать линейное уравнение с исходным уравнением Фишера - КПП, а с другой стороны накладывает алгебраические условия (3.26) для постоянных интегрирования. В результате мы получаем набор функционалов, которые являются интегралами движения уравнения Фишера - КПП.
Исходное нелокальное уравнение Фишера - КПП решается путем подстановки найденных интегралов в решение ассоциированного линейного уравнения. В этой работе был проведен поиск главных членов асимптотического ряда.
Решение линейного ассоциированного уравнения (5.14) находится с помощью набора операторов симметрии (a(±)(t)} вида (6.15), (6.16). Члены высшего порядка определяются путем решения линейной задачи, и не вызывают принципиальных трудностей в нахождении.
Семейство частных асимптотических решений (главных членов), построенных в явном виде в разделе 6, можно считать обладающим свойством полноты в следующем смысле: в нулевой момент времени ( t = 0 ) эти решения образуют базис в L2. Используя этот базис, мы можем найти решения соответствующего линейного уравнения для широкого класса начальных распределений. Тогда решение нелинейного уравнения Фишера - КПП будет сведено к алгебраическим условиям на константы интегрирования динамической ЕЕ системы.
Однако квазиклассическая асимптотика верна только для конечного интервала времени [0, T]. Оценка этого интервала выходит за рамки данного метода и требует дополнительных исследований, поэтому компьютерное моделирование по-прежнему является единственным способом прямой оценки. Отметим, что в частных случаях этот интервал может быть довольно маленьким, т.е. асимптотика будет верна на малых временах. Малость T означает, что пространственная структура не успевает сформироваться в интервале [0, T].
Также в работе были визуализированы асимптотические решения нелокального уравнения Фишера-КПП в явном виде с точностью до O(D3/2) при условиях, указанных в разделе 7.
Из поведения асимптотики (рис. 2, 3) на временном интервале t = [0, 20], можно наблюдать преобразование начального распределения с четным n (а точнее начального распределения с Щ + 1 локальными пиками) в распределение Гаусса. При численном моделировании уравнения (7.1) с начальными условиями V0 (х, 0, Cn) наблюдается та же картина (рис. 4, 5), что и в случае асимптотических решений.
Эти наблюдения позволяют рассмотреть справедливость полученных асимптотических решений на временном интервале t = [0, 20] и дает возможность оценить временной интервал [to, to + At] на котором асимптотика справедлива путем сравнения аналитических и численных решений. Косвенная аналитическая оценка интервала может быть получена путем анализа невязки асимптотического решения.
В случае численного моделирования уравнения (7.1) с начальным условием (7.9) наблюдается картина начального этапа зарождения структуры (рис. 7), так как один локальный пик разбивается на две популяционные волны, бегущие в положительном и отрицательном направлениях вдоль оси х.
Этот пример показывает, что описанный выше метод построения квазиклассической асимптотики «не видит» развернутой стадии появления структур в нелокальной нелинейной модели Фишера-КПП. Также этот пример дает представление о временном интервале действия асимптотики. Что касается «нефизических» отрицательных значений при t = 0 асимптотических решений, показанных на (рис. 2, 3, 5), которые со временем исчезают, отметим, что, как правило, с математической точки зрения аналитические решения априори не обязаны удовлетворять никаким дополнительным условиям. Тем не менее, мы можем избежать этого неудобства несколькими способами. Во-первых, сравнивая аналитические и численные решения, представленные на (рис. 3) и на (рис. 6), мы видим, что отрицательные значения существуют в течение относительно короткого времени и не оказывают существенного влияния на общее поведение эволюции популяционной плотности. Во-вторых, мы можем выбрать начальный момент t0 > 0, начиная с которого в u(x,t0) нет отрицательных значений. В-третьих, представленная выше теория квазиклассической асимптотики обладает специальным нелинейным принципом суперпозиции, который позволяет нам построить подходящую линейную комбинацию приведенных выше асимптотик, которая положительна при t0 = 0 и отрицательные значения не появятся в процессе эволюции.
