ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ТАНДЕМНЫХ СИСТЕМ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ ПОВТОРНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ НЕДОСТУПНОСТИ КАНАЛА СВЯЗИ
|
АННОТАЦИЯ 3
Введение 7
1 Техническая система как реальный пример объекта исследования 10
2 Описание математической модели тандемной системы с одной орбитой и постановка задачи 12
3 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 14
4 Исследование тандемной системы с повторными вызовами методом
асимптотического анализа 23
4.1 Асимптотика первого порядка 23
4.2 Асимптотика второго порядка 25
5 Имитационная модель тандемной СМО с двумя последовательно обслуживающими приборами и одной орбитой 30
5.1 Методика проведения имитационного моделирования 30
5.2 Основные объекты системы и их взаимодействие 32
5.3 Случайный генератор, сбор статистики. Общая диаграмма классов 37
5.4 Инструменты реализации имитационной модели 42
5.5 Интерфейс приложения 43
5.6 Стабильность результатов имитационного моделирования 46
6 Численный анализ области применимости асимптотического результата 48
Заключение 503
Список использованных источников и литературы 55
Введение 7
1 Техническая система как реальный пример объекта исследования 10
2 Описание математической модели тандемной системы с одной орбитой и постановка задачи 12
3 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 14
4 Исследование тандемной системы с повторными вызовами методом
асимптотического анализа 23
4.1 Асимптотика первого порядка 23
4.2 Асимптотика второго порядка 25
5 Имитационная модель тандемной СМО с двумя последовательно обслуживающими приборами и одной орбитой 30
5.1 Методика проведения имитационного моделирования 30
5.2 Основные объекты системы и их взаимодействие 32
5.3 Случайный генератор, сбор статистики. Общая диаграмма классов 37
5.4 Инструменты реализации имитационной модели 42
5.5 Интерфейс приложения 43
5.6 Стабильность результатов имитационного моделирования 46
6 Численный анализ области применимости асимптотического результата 48
Заключение 503
Список использованных источников и литературы 55
На сегодняшний день теория массового обслуживания является очень востребованной областью знаний, что связано со стремительным увеличением числа обслуживающих систем в современном мире. В качестве примеров можно привести как социально-экономические системы [1, 2, 3], так и вычислительные [4, 5, 6, 7, 8], телекоммуникационные системы [9, 10, 11, 12, 13].
Логично предположить, что математические модели, исследуемые в теории массового обслуживания, не учитывают многие нюансы и возможности современных сетей связи [14]. Но даже при этом они отражают наиболее важные аспекты функционирования телекоммуникационных сетей.
Таким образом, можно утверждать, что задачи построения и исследования математических моделей инфотелекоммуникационных систем являются актуальными и современными.
В теории массового обслуживания можно выделить особый класс систем, для которых характерна следующая ситуация: если заявка застает
обслуживающий прибор занятым, то она уходит на орбиту, откуда через некоторые промежутки времени пытается встать на обслуживающий прибор снова. Модели с орбитами называют системами массового обслуживания (СМО) с повторными вызовами [15, 16, 17].
Базовые системы с повторными вызовами применялись для моделирования систем Ethernet [18], телефонного трафика [19], управления очередью маршрутизаторов [20], инвентаризации [21], мобильной связи [22, 23, 24], самоорганизующихся одноранговых сетей [25].
Отдельный интерес вызывают тандемные системы массового обслуживания, которые представляют собой связывающее звено между теорией массового обслуживания и теорией сетей [26] массового обслуживания: такие системы могут рассматриваться как сети массового обслуживания с линейной топологией [27, 28].
Также тандемные СМО используются для моделирования процесса обработки, при котором входящие заявки обслуживаются последовательно на нескольких этапах. Необходимость последовательного обслуживания возникает при обработке запросов в колл-центрах [29, 30], при передаче мультимедийной информации [31], при управлении потоком данных между элементами многоагентной робототехнической системы [32] и т.д.
Кроме того, при исследовании телекоммуникационных сетей часто рассматривают тандемные маршрутизаторы как систему массового обслуживания (например, для определения качества передачи трафика [33], вычисления средней временной задержки пакетов на каждом узле [34], оптимизации сети по критерию минимизации количества отброшенных пакетов [35]).
Также тандемные сети массового обслуживания изучаются при условии наличия конечного буфера, куда могут попадать заявки. Если буфер заполнен, то заявка в таких системах теряется [36, 37]. Мы же решили сделать акцент на тандемных системах с орбитой неограниченной размерности. Исследования в этой области были уже проведены рядом авторов. В [38] изучается тандемная система с двумя обслуживающими приборами и двумя типами заявок. В [39] - модель с коррелированным потоком прибытия и работой второй станции, описываемой цепью Маркова.
Часто исследования в области теории массового обслуживания затруднительны, очень громоздки (как в [39], например). Более того, далеко не всегда удается получить характеристики исследуемой системы. Поэтому на практике широко распространены асимптотические методы исследования. Например, в работе [40] изучается тандемная модель с N обслуживающими приборами с помощью приближенных методов на базе анализа среднего значения и подходы с фиксированной точкой, в [41] - тандемная модель с двумя обслуживающими приборами и орбитами при каждом из них с помощью метода асимптотического анализа.
Целью данной работы является построение математической модели телекоммуникационной сети связи в виде тандемной системы с повторными вызовами и двумя последовательно обслуживающими приборами и нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите в данной системе.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
1) Построить математическую модель телекоммуникационной сети связи в виде тандемной системы с повторными вызовами.
2) Для предложенной модели определить распределение вероятностей числа заявок на орбите и составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для данного распределения.
3) Разработать модификацию известного метода для исследования предложенной модели - модифицированный метод асимптотического анализа.
4) Спроектировать архитектуру имитационной модели исследуемой системы.
5) Реализовать спроектированную имитационную модель.
6) Определить область применимости полученных асимптотических решений путем их сравнения с результатами имитационного моделирования.
Работа содержит 7 глав, 56 страниц, 26 рисунков, 2 таблицы, 52 источника.
В первой главе описана техническая система как реальный пример объекта исследования. Во второй главе содержится описание математической модели и постановка задачи. В третьей показан вывод системы дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа заявок на орбите. Четвертая глава посвящена нахождению распределения вероятностей числа заявок на орбите методом асимптотического анализа в предельном условии большой задержки на орбите. В пятой главе говорится об проектировании и реализации приложения имитационной модели исследуемой системы. В шестой главе определяется область применимости асимптотического распределения числа заявок на орбите с помощью результатов, полученных методом имитационного моделирования.
Логично предположить, что математические модели, исследуемые в теории массового обслуживания, не учитывают многие нюансы и возможности современных сетей связи [14]. Но даже при этом они отражают наиболее важные аспекты функционирования телекоммуникационных сетей.
Таким образом, можно утверждать, что задачи построения и исследования математических моделей инфотелекоммуникационных систем являются актуальными и современными.
В теории массового обслуживания можно выделить особый класс систем, для которых характерна следующая ситуация: если заявка застает
обслуживающий прибор занятым, то она уходит на орбиту, откуда через некоторые промежутки времени пытается встать на обслуживающий прибор снова. Модели с орбитами называют системами массового обслуживания (СМО) с повторными вызовами [15, 16, 17].
Базовые системы с повторными вызовами применялись для моделирования систем Ethernet [18], телефонного трафика [19], управления очередью маршрутизаторов [20], инвентаризации [21], мобильной связи [22, 23, 24], самоорганизующихся одноранговых сетей [25].
Отдельный интерес вызывают тандемные системы массового обслуживания, которые представляют собой связывающее звено между теорией массового обслуживания и теорией сетей [26] массового обслуживания: такие системы могут рассматриваться как сети массового обслуживания с линейной топологией [27, 28].
Также тандемные СМО используются для моделирования процесса обработки, при котором входящие заявки обслуживаются последовательно на нескольких этапах. Необходимость последовательного обслуживания возникает при обработке запросов в колл-центрах [29, 30], при передаче мультимедийной информации [31], при управлении потоком данных между элементами многоагентной робототехнической системы [32] и т.д.
Кроме того, при исследовании телекоммуникационных сетей часто рассматривают тандемные маршрутизаторы как систему массового обслуживания (например, для определения качества передачи трафика [33], вычисления средней временной задержки пакетов на каждом узле [34], оптимизации сети по критерию минимизации количества отброшенных пакетов [35]).
Также тандемные сети массового обслуживания изучаются при условии наличия конечного буфера, куда могут попадать заявки. Если буфер заполнен, то заявка в таких системах теряется [36, 37]. Мы же решили сделать акцент на тандемных системах с орбитой неограниченной размерности. Исследования в этой области были уже проведены рядом авторов. В [38] изучается тандемная система с двумя обслуживающими приборами и двумя типами заявок. В [39] - модель с коррелированным потоком прибытия и работой второй станции, описываемой цепью Маркова.
Часто исследования в области теории массового обслуживания затруднительны, очень громоздки (как в [39], например). Более того, далеко не всегда удается получить характеристики исследуемой системы. Поэтому на практике широко распространены асимптотические методы исследования. Например, в работе [40] изучается тандемная модель с N обслуживающими приборами с помощью приближенных методов на базе анализа среднего значения и подходы с фиксированной точкой, в [41] - тандемная модель с двумя обслуживающими приборами и орбитами при каждом из них с помощью метода асимптотического анализа.
Целью данной работы является построение математической модели телекоммуникационной сети связи в виде тандемной системы с повторными вызовами и двумя последовательно обслуживающими приборами и нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите в данной системе.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
1) Построить математическую модель телекоммуникационной сети связи в виде тандемной системы с повторными вызовами.
2) Для предложенной модели определить распределение вероятностей числа заявок на орбите и составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для данного распределения.
3) Разработать модификацию известного метода для исследования предложенной модели - модифицированный метод асимптотического анализа.
4) Спроектировать архитектуру имитационной модели исследуемой системы.
5) Реализовать спроектированную имитационную модель.
6) Определить область применимости полученных асимптотических решений путем их сравнения с результатами имитационного моделирования.
Работа содержит 7 глав, 56 страниц, 26 рисунков, 2 таблицы, 52 источника.
В первой главе описана техническая система как реальный пример объекта исследования. Во второй главе содержится описание математической модели и постановка задачи. В третьей показан вывод системы дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа заявок на орбите. Четвертая глава посвящена нахождению распределения вероятностей числа заявок на орбите методом асимптотического анализа в предельном условии большой задержки на орбите. В пятой главе говорится об проектировании и реализации приложения имитационной модели исследуемой системы. В шестой главе определяется область применимости асимптотического распределения числа заявок на орбите с помощью результатов, полученных методом имитационного моделирования.
В данной выпускной квалификационной работе бакалавра была рассмотрена система массового обслуживания с повторными вызовами и двумя последовательно обслуживающими приборами. Используя метод асимптотического анализа в условии большой задержки на орбите, получена гауссовоская характеристическая функция с асимптотическим средним к^о и дисперсией к2/о числа заявок на орбите исследуемой системы. На основе асимптотического распределения построена аппроксимация числа заявок на орбите в исследуемой системе.
Также была спроектирована и реализована имитационная модель тандемной системы с повторными вызовами для нахождения эмпирического распределения вероятностей числа заявок на орбите в виде десктопного приложения с пользовательским интерфейсом Windows Forms на языке C#. В основу моделирования был положен дискретно-событийный подход, который позволяет значительно ускорить время сбора статистических данных, необходимых для получения искомого распределения. Стабильность результатов моделирования определена по критерию расстояния Колмогорова, которое не превышает значения 0,005, при объеме выборки, превышающем математическое ожидание в 106 раз.
Исследование области применимости асимптотических результатов на основе результатов, полученных методом имитационного моделирования, показало, что точность аппроксимации растет с уменьшением интенсивности повторных вызовов.
Также полученное распределение вероятностей числа заявок на орбите позволило решить проблему определения размерности буфера в реальной системе, ставшей прообразом исследуемой модели.
Имитационная модель тандемной системы массового обслуживания с двумя последовательно обслуживающими приборами, изложенная в пятой главе, апробировалась на VIII Международной молодежной научной
конференции «Математическое и программное обеспечение
информационных, технических и экономических систем», Томск, 26-30 мая 2021 г. Доклад награжден дипломом I степени.
Также была спроектирована и реализована имитационная модель тандемной системы с повторными вызовами для нахождения эмпирического распределения вероятностей числа заявок на орбите в виде десктопного приложения с пользовательским интерфейсом Windows Forms на языке C#. В основу моделирования был положен дискретно-событийный подход, который позволяет значительно ускорить время сбора статистических данных, необходимых для получения искомого распределения. Стабильность результатов моделирования определена по критерию расстояния Колмогорова, которое не превышает значения 0,005, при объеме выборки, превышающем математическое ожидание в 106 раз.
Исследование области применимости асимптотических результатов на основе результатов, полученных методом имитационного моделирования, показало, что точность аппроксимации растет с уменьшением интенсивности повторных вызовов.
Также полученное распределение вероятностей числа заявок на орбите позволило решить проблему определения размерности буфера в реальной системе, ставшей прообразом исследуемой модели.
Имитационная модель тандемной системы массового обслуживания с двумя последовательно обслуживающими приборами, изложенная в пятой главе, апробировалась на VIII Международной молодежной научной
конференции «Математическое и программное обеспечение
информационных, технических и экономических систем», Томск, 26-30 мая 2021 г. Доклад награжден дипломом I степени.
