АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 7
1 Численное исследование математической модели Франк-Каменецкого 9
1.1 Постановка задачи о тепловом взрыве в плоском сосуде (нестационарный случай). Переход к безразмерным величинам 9
1.2 Математическая модель теплового взрыва (стационарный случай).
Построение точного решения 14
1.3 Численная реализация модели теплового взрыва. Сравнение
точного и численного решения 18
1.4 Неявный разностный метод решения нестационарной задачи о тепловом взрыве 24
1.4.1 Оценка погрешности аппроксимации в нормах пространств С(ыкт) и 1,2(ыЬт) 27
1.4.2 Исследование вопросов устойчивости и сходимости 32
1.5 Обсуждение результатов 35
2 Исследование модели Н.Н. Семенова с помощью явного разностного
метода 37
2.1 Постановка задачи 37
2.2 Построение численного метода 38
2.3 Результаты численных расчетов. Обсуждение 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
Список использованных источников и литературы 41
Приложение A 42
Приложение B 42
Приложение C 44
Приложение D 47
Приложение F 48
Приложение G 50
Приложение H 56
Одной из важнейших задач современности, возникающих в химической кинетике и в обеспечении безопасности технологических процессов, является изучение теплового взрыва, как результат экзотермических реакций в замкнутых объемах. Эти процессы представляют серьезную опасность, так как могут привести к разрушению оборудования и возникновению аварийных ситуаций. Поэтому необходимо детальное исследование условий возникновения теплового взрыва и разработка методов его предотвращения.
Особую актуальность приобретает изучение указанного процесса, когда распределение температуры и концентрации реагентов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Ключевой проблемой является определение критических параметров (таких как начальная температура, тепловыделение, геометрические размеры сосуда, число Дамкелера), при которых система переходит в режим теплового взрыва.
Первые фундаментальные исследования в этой области были проведены Д.А. Франк-Каменецким и его научным руководителем Н.Н. Семеновым [1]. Они разработали теорию теплового взрыва, основанную на анализе баланса тепловыделения и теплоотвода в рассматриваемой системе.
В частности, Д.А. Франк-Каменецкий предложил математическую модель, описывающую распределение температуры по закону Аррениуса, и установил критическое значение параметра Дамкелера, обеспечивающего условие взрыва.
Идеи Семенова и Франк-Каменецкого, использовались в более поздних исследованиях, которые были описаны в книге Зельдовича Я. Б., Баренблатта Г. И. [2].
В настоящей работе рассматривается математическая модель теплового взрыва в плоском сосуде, где на расстоянии R от плоскости симметрии происходит экзотермическая реакция, подчиняющаяся закону Аррениуса. На стенках сосуда поддерживается постоянная температура внешней среды. В безразмерных переменных процесс описывается начально - краевой задачей для безразмерной температуры [3].
Целью данной работы является проверка критического значения числа Дамкелера, при котором происходит тепловой взрыв.
Для решения этого вопроса рассматриваются следующие задачи:
- численное исследование математической модели Франк- Каменецкого;
- исследование модели Н.Н. Семенова с помощью явного разностного метода.
В данной работе была исследована математическая модель, описывающая процесс теплового взрыва, в котором экзотермическая реакция подчиняется закону Аррениуса. Для стационарного случая было получено точное решение, а также построено разностное решение. Результаты точного и численного решений были представлены в виде графиков.
Для нестационарного случая использовался численный метод, основанный на неявной разностной схеме.
Для неявного метода были исследованы вопросы погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости. Погрешность аппроксимации неявной разностной схемы в норме пространств С(щт) и L2(WT) имеет первый порядок относительно т и h . Разностная схема абсолютно устойчива по начальным данным и, следовательно, имеет место сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной.
В ходе исследования определено критическое значение числа Дамкелера, при превышении которого система теряет устойчивость и возникает тепловой взрыв.
