Введение 6
1 Анализ предметной области 9
1.1 Анализ неопределенностей в данных 9
1.2 Анализ публикаций по теме магистерской диссертации 10
1.3 Методы обработки информации в условиях неопределенности входных
данных 15
2 Анализ методов и подходов к обработке неопределенностей 19
2.1 Операции над плотностями вероятностей случайных величин 19
2.2 Метод Монте-Карло 21
2.3 Метод Мура 27
2.4 Определение функции плотности вероятности 28
2.5 Численный вероятностный анализ 31
2.5.1 Элементы численного вероятностного анализа 31
2.5.2 Способы представления функции плотности случайных величин 32
2.5.3 Законы распределения функции случайных аргументов 34
2.5.4 Операции над плотностями случайных величин 36
2.5.5 Тестирование. Сравнение с методом Монте-Карло 37
2.5.6 Вероятностные расширения 39
2.5.7 Основные задачи численного вероятностного анализа 42
2.5.8 Распространение неопределенности на основе численного
вероятностного анализа 43
2.5.9 Алгоритмы арифметических операций над неопределенными входными
данными 44
2.5.10 Гистограммы. Гистограммная арифметика 47
2.5.11 Интервальная арифметика 50
2.5.12 Сплайны 52
3 Разработка модуля арифметических операций над неопределенными данными
3.1 Метод дискретизации непрерывных случайных величин 58
3.2 Характеристика модуля 60
3.3 Структура модуля и описание его основных блоков 62
3.4 Постановка задачи 64
3.5 Алгоритм работы модуля 64
3.6 Тестирование 73
Заключение 79
Список использованных источников 81
Приложение А Плакаты презентации 85
Современные интервальные методы и интервальный анализ изначально возникли как средство автоматического учёта ошибок округлений при вычислениях с конечной точностью представления чисел, например, во время расчета на цифровых ЭВМ (электронно-вычислительных машин) с конечной разрядной сеткой. В течении ряда лет акцент развития интервального анализа был доминирующим, а точнее говоря, это было представлено как новая научная дисциплина. В определенных странах, таких как Германия, подобная односторонняя ориентация со временем повлекла за собой постепенное изменение научной терминологии. Появилась даже явная тенденция к устранению таких слов, как интервальный или интервальность. Стало принято называть это отдельным и целостным научным направлением. Вместо этого принято говорить о «надёжных», «доказательных» или даже просто «научных» вычислениях, как о вычислениях, основой которых служат интервальные методы.
Как показал анализ литературы, проблема снижения уровня неопределенности в исходных данных и повышение эффективности численных методов представления, обработки, моделирования и анализа в течение многих десятилетий находится в центре внимания и остается предметом многих научных исследований.
Одна из задач вычислительной математики, которая на данный момент стала очень востребованной, является решение систем линейных алгебраических уравнений. Они применяются почти во всех разделах математического моделирования. Многие задачи математической физики и экономики сводятся к системам линейных алгебраических уравнений и их численному решению. Однако, когда дело доходит до практики и решения задач, то становится очевидно, что правые части уравнений и коэффициенты матриц достаточно редко известны точно. Метод Монте-Карло является одним из подходов к численному решению задач с неточными данными.
Принимая во внимания все его положительные качества, данный метод обладает рядом определенных недостатков, такими как большой объем вычислений и низкая скорость сходимости, которые являются самыми существенными из существующих на данный момент проблем. С середины шестидесятых годов девятнадцатого века годов начал свое развитие интервальный анализ — еще один альтернативный подход для решения задач с неточными данными.
Особенность его реализации заключается в том, что нам необходимо знать только интервалы изменений случайных величин. Соответственно интервальный анализ предоставляет нам только границы множеств решений исходных задач. В определенных случаях, когда кроме границ нам известна функция плотности вероятности случайных величин, мы можем применять численный вероятностный анализ, что представлено в данной работе и других работах в этом направлении.
В рамках обозначенного направления понятие численного вероятностного анализа рассматривается как раздел вычислительной математики, предметом исследования которого является решение задач со стохастическими неопределенностями в данных с использованием численных арифметических операций над плотностями вероятностей случайных величин и их функций. Один из основных элементов численного вероятностного анализа — гистограммная арифметика. Её применение позволяет нам снизить уровень неопределенности в исходных данных и получить дополнительную информацию о распределении случайных величин.
Идея гистограммного подхода состоит в том, чтобы рассматривать случайные величины и их плотность не только как непрерывную функцию, а еще и как гистограмму, которой может быть представлена плотность распределения случайной величины.
В данной работе будут рассмотрен один из способов разработки модуля арифметических операций над неопределенными данными.
Цель магистерской диссертации: на основании изученной теории по дисциплине «Численный вероятностный анализ» применить знания для анализа предметной области, добиться снижения уровня неопределенности в исходных данных и повысить эффективность выполнения численных операций и процедур на основе программного модуля.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) Провести анализ предметной области исследования;
2) Изучить методы и подходы работы с неопределенными данными.
3) Исследовать существующие алгоритмы арифметических операций над неопределенными данными.
4) Провести анализ найденных методов и сравнение их с методом ЧВА.
5) Разработать модуль арифметических операций над неопределенными данными.
В данной магистерской диссертации был разработан программный модуль для вычисления арифметических операций над неопределёнными данными. Внедрение данного программного модуля позволит на много быстрее и с более высокой точностью осуществлять арифметические операции над плотностями функций и уменьшить затрачиваемое времени на выполнение многих практических задач.
Внедрение данного продукта окажет положительное влияние на работу специалистов многих областей и повысит их эффективность работы и временные затраты путем применения предложенных новых подходов к арифметикам, которые учитывают случайных характер данных.
Разработка и внедрение данного модуля, позволяющего осуществлять арифметические операции над неопределенными данными и расчета функции распределения в частности, сейчас очень актуальна в областях, где требуется учитывать стохастический характер, при этом получать не тенденции, которые характеризуют среднее поведение величины или доверительные интервалы, а получать все вероятностное распределение изменчивых величин в численных операциях.
В результате выполнения магистерской диссертации были решены следующие задачи:
- Разработан модуль арифметических операций над плотностями функций.
- Реализован метод выполнения арифметических операций над неопределенными данными.
- Разработана общая схема модуля арифметических операций.
- Проведены тестовые примеры.
- Выполнено сравнение работы модуля с результатами работы метода Монте-Карло
Проведены численные эксперименты восстановления функции плотности вероятности с использованием ЧВА. Данные эксперименты показали, что восстановление функции плотности вероятности при помощи модуля дает более лучшие результаты. Был проведен эксперимент и сравнение с методом Монте - Карло, который показал, что реализованный модуль показывает более хорошие результаты при малом объеме выборки.
Проведен численный эксперимент восстановления функции плотности вероятности произведения случайных величин X и Y в условиях неопределенности входных данных, объем выборки в экспериментах был равен n = 10, 20, 40. Восстановление функции плотности вероятности проводилось методом сглаживания функции распределения полиномом пятого порядка. Результаты показали, что сглаженная функция распределения достаточно близка к аналитической функции и последующая её обработка является перспективным направлением, и уже на первоначальных этапах исследования дает достаточно точные результаты. Эксперимент показал перспективность исследования по применению численных арифметических операций и восстановлению функции плотности вероятности.
Подводя итог можно сказать, что цель этого проекта заключалась в разработке инструмента для выполнения вычислений на случайных величинах, как точно, так и эффективно, в дальнейшем планируется усовершенствовать модуль. Кроме того, по теме магистерской диссертации опубликована статья: Анализ численных методов и моделей для арифметических операций над неопределенными данными
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
