В первой половине девятнадцатого века попытка Джоржа Буля формализовать пропозициональную логику привела к понятию булевой алгебры. Исследуя аксиоматику булевых алгебр в конце девятнадцатого века, Чарльз Пирс и Эрнст Шредер сочли полезным ввести понятие решетки. Ричард Дедекинд независимо от них в своих исследованиях по идеалам алгебраических чисел пришел к тому же самому понятию. На самом деле Дедекинд ввел также модулярность, ослабленную форму дистрибутивности. Хотя некоторые из ранних результатов этих математиков и Эдварда Хантингтона очень элегантны и далеко не тривиальны, они не привлекли внимания математической общественности.
И только работы Гарретта Биркгофа в середине тридцатых годов дали толчок общему развитию теории решеток. Он в своих работах показал важность теории решеток. Такие ученые как сам Биркгоф, Валерий Ивановия Гливенко, Карл Менгер, Джон фон Нейман, Ойстейн Оре и другие достаточно продвинулись в этой новой области, чтобы Биркгоф мог сделать попытку “подать” ее широкой математической общественности. Он и сделал это с хорошим достижением в первом издании своей монографии, который назывался “Lattice theory”. Сравнивая первое, второе и третье издания книги Биркгофа, можно проследить дальнейшее развитие предмета. Термин «lattice», переведённый как «структура», был введён Биркгофом в 1933 году. В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен переводом «решётка». Исторически роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых решёток. Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах XX века.
Гаррет Биркгоф (1911-1996) - американский математик, основатель универсальной алгебры, сын Джорджа Биркгофа, более всего известный своими исследованиями в области теории решеток.
Гаррет Биркгоф родился в семье другого известного математика, Джорджа Биркгофа. В 1928-ом году Гаррет Биркгоф поступил в бакалавриат Гарвардского университета. В 1932-ом году он продолжил обучение Кембриджским университете, где некоторое время изучал математическую физику. Однако по причине большого интереса в области общей алгебры он сменил научного руководителя на алгебраиста Филиппа Холла, и взялся за изучение абстрактной алгебры. В университете Мюнхена Гаррет познакомился с Константином Каратеодори. И именно Каратеодори посоветовал Гаретту ознакомиться с двумя довольно важными работами, сильно повлиявшими на его дальнейшие исследования . Труды Ван дер Вардена по абстрактной алгебре и работы Спейсера по теории групп открыли для Биркгофа новую область. Кандидатскую степень Биркгоф так и не получил, хотя в британской образовательной системе на неё в то время особый акцент и не делался. А также Г аррет не получил и степень магистра. Но это не помешало ему стать членом Гарвардского Общества и до самого конца своей карьеры преподавать в Гарварде.
В 30-х годах Биркгоф и его коллеги по Гарварду Маршалл Стоун и Сондерс Маклейн серьезно продвинули американскую абстрактную алгебру. В 1941-ом Маклейн и Биркгоф издали второй в истории страны учебник на данную тему. А в 1940-ом свет увидела монография Гаррета по теории решеток.
Целью данной книги является обсуждение основы общей теории решеток. Другими словами, он попытался включить в книгу все, что он посчитал наиболее важным из результатов и методов исследования всей теории решеток. Ему пришлось отказаться от очень многого, чтобы рассмотреть самые элементарные результаты во всех подробностях и при этом не упустить из-под контроля объем книги. А также он исключил важные главы теории решеток, которые переросли в самостоятельные области исследований. Так были исключены упорядоченные алгебраические системы и другие приложения. В этой книге Биркгоф рассчитывал, что даже те, чьи основные научные интересы лежат в областях, которые здесь подробно не рассматриваются, сочтут эту книгу полезной, получив с ее помощью основополагающие знания по теории решеток, которые необходимые в смежных областях.
...
В исследовании данной работы можно понять, что теория решеток дает удобный общий аппарат, применяемый в широком круге исследований в алгебре, дискретной математике, геометрии и теоретическом программировании. Одной из причин этого служит тот факт, что специфика строения, а также сложность любой алгебраической системы может быть удобным способом выражена и исследована при помощи различных производных решеток. Кроме использования теоретико-решеточных методов, нами будут также широко использоваться геометрические и алгебраические методы. Центральное понятия используемое нами является понятие пространства замыкания, которое обобщает понятие топологического пространства. Представлены различные примеры и задачи решеток, полных и не полных решеток, неполных гомоморфизмов. Есть еще много нерешенных вопросов, которые необходимо рассмотреть.
