ВВЕДЕНИЕ 2
1 Исследование числа занятых приборов в бесконечно-линейной СМО с
мгновенной обратной связью и перенастройкой приборов 4
1.1 Математическая модель 4
1.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 5
1.3 Метод производящих функций 9
2 Исследование выходящего потока заявок в системе с мгновенной обратной
связью и перенастройкой приборов 18
2.1 Математическая модель системы двухфазной системы массового
обслуживания с обратной связью и перенастройкой приборов 18
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 19
2.3 Метод производящих функций 20
3 Численный анализ полученных результатов 30
Построение распределения вероятностей числа событий в потоке обслуженных заявок в многофазной СМО с мгновенной обратной связью и перенастройкой приборов 30
4 Имитационная модель для исследования системы массового обслуживания
с мгновенной обратной связью 34
4.1 Объектная модель приложения 34
4.2 Демонстрация работы приложения 37
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
ЛИТЕРАТУРА 42
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Одним из ключевых инструментов математического моделирования является теория массового обслуживания (ТМО) [3, 9, 26], которая предоставляет теоретическую базу для эффективного проектирования и эксплуатации систем массового обслуживания. Такие системы широко распространены в различных сферах деятельности современного человека (производство, технологии, повседневная жизнь и др.) и предназначены для многократного использования при решении однотипных задач. В состав каждой системы массового обслуживания (СМО) могут входить определённое количество обслуживающих устройств (единиц оборудования, линий, приборов), которые именуются приборами обслуживания, или же неограниченное их количество [16]. Эти приборы могут представлять собой людей, выполняющих определённые операции (кассиры, операторы, продавцы, парикмахеры и т.д.), а также линии и каналы связи, серверы, облачные хранилища [6], автомобили, ремонтные бригады, железнодорожные пути, заправочные станции, или же клиентов каких-либо компаний, к примеру, торговых или страховых [5, 7, 8, 11, 13, 27]. Потоки заявок поступают на вход системы преимущественно в случайные моменты времени, а не по строгому расписанию.
В настоящее время в ТМО исследуется множество конфигураций систем массового обслуживания, это классические системы с очередями и ограниченным числом приборов [20], различные конфигурации RQ-систем [14, 17, 18], а также, системы с неограниченным числом приборов с различными дисциплинами обслуживания, в которых в свою очередь может быть реализован механизм обратной связи [12, 23, 19, 21].
Отдельный интерес вызывают системы с повторным обслуживанием или системы с обратной связью, так как они позволяют адекватно смоделировать процессы в случаях, когда заявки по каким-либо причинам не смогли завершить обработку с первого раза [10, 25].
В исследованиях [2, 12, 21, 22, 23] рассматриваются СМО с мгновенной обратной связью, где заявка, возвращающаяся для повторного обслуживания, обрабатывается сразу же. Однако в реальных условиях часто встречаются случаи, когда перед началом повторного обслуживания приборам требуется определённое время на подготовку, которое мы будем называть временем перенастройки. Таким образом, возникает необходимость оценить влияние параметра перенастройки на функционирование такого рода системы, в частности, исследовать поток заявок, завершивших обработку в системе за определённый интервал времени.
Целью данной работы является нахождение распределения вероятностей (производящая функция) случайного процесса, описывающего поток заявок, завершивших обслуживание в системе с мгновенной обратной связью и перенастройкой приборов.
В соответствии с целью сформулированы следующие задачи:
1) ознакомиться с основными понятиями теории случайных процессов и теории массового обслуживания;
2) построить математическую модель системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, перенастройкой и мгновенной обратной связью;
3) найти вид производящей функции исследуемого трехмерного процесса, описывающего распределение числа приборов, занятых обслуживанием первичных заявок, заявок, обратившихся повторно и находящихся в процессе перенастройки;
4) найти вид производящей функции для распределения вероятностей числа событий в потоке заявок, завершивших обслуживание в системе;
5) провести анализ полученных результатов с помощью Mathcad;
6) разработать имитационную модель для исследуемой СМО и сравнить теоретические результаты с работой имитационной модели.
В рамках проведённого исследования была разработана и проанализирована математическая модель системы массового обслуживания М|М|го с мгновенной обратной связью и перенастройкой приборов. Для анализа выходящего потока заявок был исследован четырёхмерный марковский процесс {i1(t),i2(t),i3(t),n(t)},описывающий число занятых приборов и количество обслуженных заявок. С использованием метода производящих функций получена производящая функция процесса, что позволило определить распределение вероятностей числа событий в потоке обслуженных заявок. Численный анализ подтвердил теоретические результаты: были построены графики распределения вероятностей, а также вычислены математическое ожидание и дисперсия для различных параметров системы (0, X, t).
Для практической проверки теоретических выводов и решения технической задачи, была разработана имитационная модель на языке Python с применением дискретно-событийного подхода. Модель реализована в классе SystemSimulation,который позволяет моделировать систему, обрабатывать данные и визуализировать результаты. Проведённые эксперименты показали, что поведение выходящего потока заявок соответствует аналитическим расчётам: при увеличении интенсивности перенастройки 0 дисперсия распределения уменьшается, а при росте X и t увеличивается число событий в потоке.
Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований систем массового обслуживания, в частности, для анализа более сложных моделей с учётом дополнительных факторов, таких как ограниченное число приборов или неоднородные потоки заявок. Разработанная имитационная модель предоставляет удобный инструмент для численного анализа и может быть адаптирована для других типов СМО.
