ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ WOLFRAM MATHEMATICA
|
АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 7
1 Геометрические преобразования 10
1.1 Параллельный перенос 10
1.2 Поворот 13
1.3 Отображение подобия 16
1.4 Масштабирование 17
1.5 Композиция преобразований 20
1.6 Аффинные преобразования 21
1.7 Инверсия 24
2 Фракталы 28
2.1 Фракталы: развитие и характеристики 28
2.2 Береговая линия 29
2.3 Фрактальная размерность 30
2.4 Канторовское множество 32
2.5 Примеры известных фракталов 35
2.5.1 Снежинка Коха 35
2.5.2 Салфетка и ковер Серпинского 36
2.5.3 Дракон Хартера-Хейтуэя 39
3 Методы построения фракталов 41
3.1 Система итерируемых функций (СИФ) 41
3.1.1 Детерминированный метод 41
3.1.2 Метод случайных итераций, или игра в хаос 44
3.1.3 Игры с поворотами 47
3.2 Лист папоротника 50
4 Построение фракталов с помощью Wolfram Matematica 58
4.1 Описание основных функций 58
4.2 Кривая Коха 59
4.3 Салфетка и ковер Серпинского 60
4.4 Модификации салфетки Серпинского 64
4.5 Лист папоротника 68
4.6 Дракон Хартера-Хейтуэя 70
4.7 Примеры известных фракталов 73
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 81
ЛИТЕРАТУРА 82
ПРИЛОЖЕНИЕ А 83
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 87
ВВЕДЕНИЕ 7
1 Геометрические преобразования 10
1.1 Параллельный перенос 10
1.2 Поворот 13
1.3 Отображение подобия 16
1.4 Масштабирование 17
1.5 Композиция преобразований 20
1.6 Аффинные преобразования 21
1.7 Инверсия 24
2 Фракталы 28
2.1 Фракталы: развитие и характеристики 28
2.2 Береговая линия 29
2.3 Фрактальная размерность 30
2.4 Канторовское множество 32
2.5 Примеры известных фракталов 35
2.5.1 Снежинка Коха 35
2.5.2 Салфетка и ковер Серпинского 36
2.5.3 Дракон Хартера-Хейтуэя 39
3 Методы построения фракталов 41
3.1 Система итерируемых функций (СИФ) 41
3.1.1 Детерминированный метод 41
3.1.2 Метод случайных итераций, или игра в хаос 44
3.1.3 Игры с поворотами 47
3.2 Лист папоротника 50
4 Построение фракталов с помощью Wolfram Matematica 58
4.1 Описание основных функций 58
4.2 Кривая Коха 59
4.3 Салфетка и ковер Серпинского 60
4.4 Модификации салфетки Серпинского 64
4.5 Лист папоротника 68
4.6 Дракон Хартера-Хейтуэя 70
4.7 Примеры известных фракталов 73
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 81
ЛИТЕРАТУРА 82
ПРИЛОЖЕНИЕ А 83
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 87
Вся наука записана в этой великой книге, - я имею в виду Вселенную, - которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке математики, и её буквами являются треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного её слова; без них он подобен блуждающему во тьме» - Галилео Галилей, 1623 г. [1, с. 5].
Результаты исследования направлены на создание математических и программных инструментов, с помощью которых можно уменьшить трудности в понимании и изучении геометрических преобразований и фракталов.
Объектом и предметом исследования в данной ВКР являются: визуализация двумерных геометрических преобразований разных видов (аффинные преобразования, инверсия, фрактальные преобразования).
Цель исследования: используя возможности языка Wolfram Mathematica, создать программы, реализующие наглядное представление геометрических преобразований. В частности, большое внимание уделяется:
1. построению фракталов различного типа;
2. созданию демонстраций - интерактивных вычислимых документов (CDF).
Формат вычисляемых документов (Computable Document Format, или CDF) - это электронный формат документов, созданный с целью облегчения создания динамически сгенерированного интерактивного контента. Файлы CDF создаются в системе Mathematica [2, с.18].
Задачи:
1. Изучение литературы по темам: аффинные преобразования (поворот,
параллельный перенос, преобразование подобия, масштабирование), инверсия, геометрические преобразования на плоскости в языке Wolfram;
2. Программирование: визуализация простых видов аффинных преобразований плоскости и их композиций;
3. Программирование: визуализация инверсии;
4. Изучение литературы по темам: классические фракталы, размерность
Хаусдорфа, функции языка Wolfram для построения фракталов;
5. Программирование фракталов на плоскости: салфетка и ковер Серпинского; кривая Коха и другие известные фракталы;
6. Изучение литературы по теме «Детерминированные системы итерированных функций (ДСИМ)»;
7. Программирование фракталов с помощью ДСИМ;
8. Изучение алгоритма рандомизированных систем итерированных функций и построение с его помощью хаотических фракталов.
Методы: математические, большей частью геометрические; использование языка Wolfram для программирования в системе Mathematica.
Wolfram Mathematica - это современная техническая вычислительная система, охватывающая технические, научные, инженерные, математические и вычислительные области. Система была задумана Стивеном Вольфрамом и в 1988г. была разработана первая версия в компании Wolfram Research (Шампейн, штат Иллинойс, США).
Mathematica представляет собой модульную систему программного обеспечения, в которой ядро, фактически выполняющее вычисления, отделено от интерфейса, отвечающего за взаимодействие с пользователем.
Язык Wolfram является интерпретирующим языком. Команды выполняются в реальном времени без необходимости компилировать их в программы. Напечатав выражение, вы нажимаете комбинацию Shift+Enter, Mathematica присваивает введенному выражению номер и после этого ядро вычисляет значение выражения. Результат вычислений располагается под вводом и так же нумеруется.
Основные возможности [2, с.16]:
- Библиотека традиционных и специальных математических функций;
- Поддержка комплексных чисел, рациональных и вещественных чисел произвольной точности, интервальной арифметики и символьных вычислений;
- Поддержка 2D и SD-данных и функций визуализации и анимации;
- Решение систем уравнений, диофантовых уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, дифференциальных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений с задержкой аргумента, стохастических дифференциальных уравнений и рекуррентных соотношений;
- Библиотеки многомерной статистики, включая интерполяцию и аппроксимацию данных, проверку гипотез и расчёты вероятности и математического ожидания для более 100 различных распределений;
- Расчеты и моделирование случайных процессов и очередей;
- Локальная и глобальная оптимизации с ограничениями и без них;
- Язык Wolfram поддерживает различные парадигмы: процедурное,
функциональное и объектно-ориентированное программирование.
Пример:
Simplify[x*2 + 2х + 1]
(1 + х)2
Большинство различных природных конструкций изначально описывалось примитивными геометрическими фигурами: прямыми, многоугольниками, окружностям, многогранниками и сферами. Но не для всех конструкций подходили эти фигуры. Для характеристики более сложных объектов, таких как очертание береговых линий, разряд молнии в воздухе, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, контуры дерева, кровеносно-сосудистая система человека, этот набор становится плохо применимым. Поэтому в математике возникает новое понятие - фрактал, которое изменило традиционное представление о геометрии. Оно было введено французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1975 года, хотя это только дата возникновения понятия. Сами же конструкции возникли несколько десятков лет назад.
В данной работе большое внимание уделяется изучению и построению фракталов различных видов: салфетка и ковер Серпинского, кривая Коха, дракон Хартера-Хейтуэя, лист папоротника, кристалл и др.
Структура работы:
Глава 1 - теория по геометрическим преобразованиям; построение каждого
преобразования в Wolfram Mathematica в отдельности и в композиции.
Глава 2 - история появления и развития фракталов; вычисление фрактальной размерности; знакомство с известными фракталами и их построением.
Глава 3 - изучение системы итерируемых функций, а именно подходы:
детерминированный и метод случайных итераций; на основе изученного материала рассматривается последовательность построения листа папоротника.
Глава 4 - построение фракталов на основе методов СИФ и их визуальное представление в Wolfram Mathematica.
Описание использованных источников:
[4]-[6] - изучение геометрических преобразований;
[2], [8] - изучение языка Wolfram Mathematica, его возможности , ознакомление с готовыми примерами;
[1], [7], [9] - изучение истории развития и появления первых фракталов, разбор построения известных фракталов, изучение метода систем итерируемых функций и его подходов.
Результаты исследования направлены на создание математических и программных инструментов, с помощью которых можно уменьшить трудности в понимании и изучении геометрических преобразований и фракталов.
Объектом и предметом исследования в данной ВКР являются: визуализация двумерных геометрических преобразований разных видов (аффинные преобразования, инверсия, фрактальные преобразования).
Цель исследования: используя возможности языка Wolfram Mathematica, создать программы, реализующие наглядное представление геометрических преобразований. В частности, большое внимание уделяется:
1. построению фракталов различного типа;
2. созданию демонстраций - интерактивных вычислимых документов (CDF).
Формат вычисляемых документов (Computable Document Format, или CDF) - это электронный формат документов, созданный с целью облегчения создания динамически сгенерированного интерактивного контента. Файлы CDF создаются в системе Mathematica [2, с.18].
Задачи:
1. Изучение литературы по темам: аффинные преобразования (поворот,
параллельный перенос, преобразование подобия, масштабирование), инверсия, геометрические преобразования на плоскости в языке Wolfram;
2. Программирование: визуализация простых видов аффинных преобразований плоскости и их композиций;
3. Программирование: визуализация инверсии;
4. Изучение литературы по темам: классические фракталы, размерность
Хаусдорфа, функции языка Wolfram для построения фракталов;
5. Программирование фракталов на плоскости: салфетка и ковер Серпинского; кривая Коха и другие известные фракталы;
6. Изучение литературы по теме «Детерминированные системы итерированных функций (ДСИМ)»;
7. Программирование фракталов с помощью ДСИМ;
8. Изучение алгоритма рандомизированных систем итерированных функций и построение с его помощью хаотических фракталов.
Методы: математические, большей частью геометрические; использование языка Wolfram для программирования в системе Mathematica.
Wolfram Mathematica - это современная техническая вычислительная система, охватывающая технические, научные, инженерные, математические и вычислительные области. Система была задумана Стивеном Вольфрамом и в 1988г. была разработана первая версия в компании Wolfram Research (Шампейн, штат Иллинойс, США).
Mathematica представляет собой модульную систему программного обеспечения, в которой ядро, фактически выполняющее вычисления, отделено от интерфейса, отвечающего за взаимодействие с пользователем.
Язык Wolfram является интерпретирующим языком. Команды выполняются в реальном времени без необходимости компилировать их в программы. Напечатав выражение, вы нажимаете комбинацию Shift+Enter, Mathematica присваивает введенному выражению номер и после этого ядро вычисляет значение выражения. Результат вычислений располагается под вводом и так же нумеруется.
Основные возможности [2, с.16]:
- Библиотека традиционных и специальных математических функций;
- Поддержка комплексных чисел, рациональных и вещественных чисел произвольной точности, интервальной арифметики и символьных вычислений;
- Поддержка 2D и SD-данных и функций визуализации и анимации;
- Решение систем уравнений, диофантовых уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, дифференциальных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений с задержкой аргумента, стохастических дифференциальных уравнений и рекуррентных соотношений;
- Библиотеки многомерной статистики, включая интерполяцию и аппроксимацию данных, проверку гипотез и расчёты вероятности и математического ожидания для более 100 различных распределений;
- Расчеты и моделирование случайных процессов и очередей;
- Локальная и глобальная оптимизации с ограничениями и без них;
- Язык Wolfram поддерживает различные парадигмы: процедурное,
функциональное и объектно-ориентированное программирование.
Пример:
Simplify[x*2 + 2х + 1]
(1 + х)2
Большинство различных природных конструкций изначально описывалось примитивными геометрическими фигурами: прямыми, многоугольниками, окружностям, многогранниками и сферами. Но не для всех конструкций подходили эти фигуры. Для характеристики более сложных объектов, таких как очертание береговых линий, разряд молнии в воздухе, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, контуры дерева, кровеносно-сосудистая система человека, этот набор становится плохо применимым. Поэтому в математике возникает новое понятие - фрактал, которое изменило традиционное представление о геометрии. Оно было введено французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1975 года, хотя это только дата возникновения понятия. Сами же конструкции возникли несколько десятков лет назад.
В данной работе большое внимание уделяется изучению и построению фракталов различных видов: салфетка и ковер Серпинского, кривая Коха, дракон Хартера-Хейтуэя, лист папоротника, кристалл и др.
Структура работы:
Глава 1 - теория по геометрическим преобразованиям; построение каждого
преобразования в Wolfram Mathematica в отдельности и в композиции.
Глава 2 - история появления и развития фракталов; вычисление фрактальной размерности; знакомство с известными фракталами и их построением.
Глава 3 - изучение системы итерируемых функций, а именно подходы:
детерминированный и метод случайных итераций; на основе изученного материала рассматривается последовательность построения листа папоротника.
Глава 4 - построение фракталов на основе методов СИФ и их визуальное представление в Wolfram Mathematica.
Описание использованных источников:
[4]-[6] - изучение геометрических преобразований;
[2], [8] - изучение языка Wolfram Mathematica, его возможности , ознакомление с готовыми примерами;
[1], [7], [9] - изучение истории развития и появления первых фракталов, разбор построения известных фракталов, изучение метода систем итерируемых функций и его подходов.
В ходе проделанной работы, используя возможности языка Wolfram Mathematica, были созданы программы, реализующие наглядное представление геометрических преобразований. Полученные результаты облегчат понимание и изучение геометрических преобразований и фракталов.
По поставленным задачам можно сделать следующие выводы:
1. Изучена литература по темам: аффинные преобразования, инверсия,
геометрические преобразования на плоскости в языке Wolfram;
2. Созданы программы, визуализирующие простые виды аффинных преобразований на плоскости, их композиции и инверсию;
3. Изучена литература по темам: классические фракталы, фрактальная размерность, функции языка Wolfram для построения фракталов;
4. Изучена литература по методам построения систем итерируемых функций;
5. Рассмотрены подходы построения системы итерируемых функций:
детерминированный и метод случайных итераций, выявлены преимущества и недостатки этих методов;
6. С помощью программы Wolfram Mathematica удалось реализовать эти подходы и построить известные фракталы и их модификации.
По поставленным задачам можно сделать следующие выводы:
1. Изучена литература по темам: аффинные преобразования, инверсия,
геометрические преобразования на плоскости в языке Wolfram;
2. Созданы программы, визуализирующие простые виды аффинных преобразований на плоскости, их композиции и инверсию;
3. Изучена литература по темам: классические фракталы, фрактальная размерность, функции языка Wolfram для построения фракталов;
4. Изучена литература по методам построения систем итерируемых функций;
5. Рассмотрены подходы построения системы итерируемых функций:
детерминированный и метод случайных итераций, выявлены преимущества и недостатки этих методов;
6. С помощью программы Wolfram Mathematica удалось реализовать эти подходы и построить известные фракталы и их модификации.
