СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКА ПОСЕТИТЕЛЕЙ В ЗОНАХ НАБЛЮДЕНИЯ по основной образовательной программе подготовки
|
АННОТАЦИЯ 3
Введение 4
1. Основные понятия в анализе временных рядов 8
1.1. Временной ряд как случайный процесс 8
1.2. Проверка гипотезы стационарности временного ряда 9
1.2.1. Критерий стационарности Дикки - Фуллера 11
1.2.2. Критерий стационарности KPSS 14
1.2.3. Взаимодействие двух критериев 15
2. Выделение тренда временного ряда на основе МНК 17
2.1. Тренд временного ряда и его основные виды 17
2.2. Тригонометрическая аппроксимация 19
2.3. Метод наименьших квадратов 21
3. Аппроксимация с помощью авторегрессионных моделей 25
3.1. Модели и методы авторегрессии 25
3.1.1. Линейные стохастические модели ARMA и ARIMA 26
3.2. Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью 29
3.2.1. Модель GARCH 29
3.3. Информационный критерий Шварца 31
4. Моделирование потока посетителей 33
4.1. Проверка временного ряда на стационарность 33
4.2. Выделение тренда временного ряда 36
4.3. Подбор линейной модели 41
Заключение 47
Список использованной литературы 49
Приложение А 52
Введение 4
1. Основные понятия в анализе временных рядов 8
1.1. Временной ряд как случайный процесс 8
1.2. Проверка гипотезы стационарности временного ряда 9
1.2.1. Критерий стационарности Дикки - Фуллера 11
1.2.2. Критерий стационарности KPSS 14
1.2.3. Взаимодействие двух критериев 15
2. Выделение тренда временного ряда на основе МНК 17
2.1. Тренд временного ряда и его основные виды 17
2.2. Тригонометрическая аппроксимация 19
2.3. Метод наименьших квадратов 21
3. Аппроксимация с помощью авторегрессионных моделей 25
3.1. Модели и методы авторегрессии 25
3.1.1. Линейные стохастические модели ARMA и ARIMA 26
3.2. Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью 29
3.2.1. Модель GARCH 29
3.3. Информационный критерий Шварца 31
4. Моделирование потока посетителей 33
4.1. Проверка временного ряда на стационарность 33
4.2. Выделение тренда временного ряда 36
4.3. Подбор линейной модели 41
Заключение 47
Список использованной литературы 49
Приложение А 52
Невозможно представить современную науку без широкого применения математического моделирования.
Математическое моделирование — процесс построения и исследования математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием, т. е. заменяют реальный объект его моделью и затем изучают ее [15].
Советский математик, один из основоположников кибернетики, член- корреспондент АН СССР Ляпунов А. А. полагает, что моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):
• находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;
• способная замещать его в определенных отношениях;
• дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте [18].
Модели экономических процессов очень разнообразны по форме математических зависимостей. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные связи экономических переменных и объектов. Во-вторых, из сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяет получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Наконец, в- четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.
Математические модели использовались еще французским экономистом, основоположником школы физиократов Ф. Кенэ [22] в 1758 в книге «Экономическая таблица», шотландским экономистом А. Смитом [23] (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо [24] (модель международной торговли). В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.). В России в начале XX века большой вклад в развитие математического моделирования внесли Е. Е. Слуцкий и В. К. Дмитриев.
Появление ЭВМ сыграло огромную роль в развитии математического моделирования. Именно благодаря компьютеризации данный метод занял одно из ведущих мест среди других методов исследования. Особенно важно математическое моделирование для современной экономической науки.
Применение математического моделирования актуально в микроэкономике особенно, в разрезе любого конкретного предприятия или организации. В этих условиях оно позволяет проанализировать эффективность работы любого из отделов фирмы или предприятия в целом, составить прогнозные значения основных финансовых показателей предприятия, учитывая возможные риски. Математическое моделирование позволяет составлять бизнес-планы дальнейшей работы организаций даже в условиях нестабильной экономической ситуации, что особенно важно в настоящее время.
Стоит рассмотреть подробнее те задачи, которые помогает решить математическое программирование в повседневной жизни предприятий и организаций.
Первая задача — задача ремонта и замены оборудования. Эта проблема актуальна в связи с моральным и физическим износом оборудования, необходимостью усовершенствования технической базы предприятия. Основная цель задач данного типа состоит в определении оптимальных сроков и моментов замены и ремонта оборудования, определении сроков и числа профилактических работ. Любое предприятие за время своей работы сталкивается с такими проблемами: будь то замена специализированного оборудования в производственном цехе либо плановая замена устаревшей или вышедшей из строя оргтехники.
Вторая задача — задача составления расписания (календарного планирования). Цель задач этого типа заключается в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.
И, наконец, задачи планировки и размещения. Такие задачи призваны решать проблемы, связанные с определением оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.
В данной работе и рассматривалась одна из задач, сформулированных выше — задача ремонта и замены оборудования.
Задачи исследования: каждый час видеокамерами фиксируется
количество людей, находящихся в четырех зонах наблюдения. Необходимо построить модель, адекватно описывающую количество посетителей в магазине, и, на основе полученной модели отследить имеются ли аномальные количества посетителей в рассматриваемой зоне. Если таковые имеются можно сделать вывод, что наступила поломка оборудования (разладка).
Цель работы состоит в получении модели потока посетителей в зонах наблюдения для дискретного временного ряда, обладающей максимальной простотой и минимальным числом параметров и при этом адекватно описывающей наблюдения.
В работе применяются такие критерии как: критерий, Дики-Фуллера, критерий KPSS, информационный критерий Шварца и метод наименьших квадратов.
Математическое моделирование — процесс построения и исследования математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием, т. е. заменяют реальный объект его моделью и затем изучают ее [15].
Советский математик, один из основоположников кибернетики, член- корреспондент АН СССР Ляпунов А. А. полагает, что моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):
• находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;
• способная замещать его в определенных отношениях;
• дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте [18].
Модели экономических процессов очень разнообразны по форме математических зависимостей. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные связи экономических переменных и объектов. Во-вторых, из сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяет получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Наконец, в- четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.
Математические модели использовались еще французским экономистом, основоположником школы физиократов Ф. Кенэ [22] в 1758 в книге «Экономическая таблица», шотландским экономистом А. Смитом [23] (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо [24] (модель международной торговли). В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.). В России в начале XX века большой вклад в развитие математического моделирования внесли Е. Е. Слуцкий и В. К. Дмитриев.
Появление ЭВМ сыграло огромную роль в развитии математического моделирования. Именно благодаря компьютеризации данный метод занял одно из ведущих мест среди других методов исследования. Особенно важно математическое моделирование для современной экономической науки.
Применение математического моделирования актуально в микроэкономике особенно, в разрезе любого конкретного предприятия или организации. В этих условиях оно позволяет проанализировать эффективность работы любого из отделов фирмы или предприятия в целом, составить прогнозные значения основных финансовых показателей предприятия, учитывая возможные риски. Математическое моделирование позволяет составлять бизнес-планы дальнейшей работы организаций даже в условиях нестабильной экономической ситуации, что особенно важно в настоящее время.
Стоит рассмотреть подробнее те задачи, которые помогает решить математическое программирование в повседневной жизни предприятий и организаций.
Первая задача — задача ремонта и замены оборудования. Эта проблема актуальна в связи с моральным и физическим износом оборудования, необходимостью усовершенствования технической базы предприятия. Основная цель задач данного типа состоит в определении оптимальных сроков и моментов замены и ремонта оборудования, определении сроков и числа профилактических работ. Любое предприятие за время своей работы сталкивается с такими проблемами: будь то замена специализированного оборудования в производственном цехе либо плановая замена устаревшей или вышедшей из строя оргтехники.
Вторая задача — задача составления расписания (календарного планирования). Цель задач этого типа заключается в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.
И, наконец, задачи планировки и размещения. Такие задачи призваны решать проблемы, связанные с определением оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.
В данной работе и рассматривалась одна из задач, сформулированных выше — задача ремонта и замены оборудования.
Задачи исследования: каждый час видеокамерами фиксируется
количество людей, находящихся в четырех зонах наблюдения. Необходимо построить модель, адекватно описывающую количество посетителей в магазине, и, на основе полученной модели отследить имеются ли аномальные количества посетителей в рассматриваемой зоне. Если таковые имеются можно сделать вывод, что наступила поломка оборудования (разладка).
Цель работы состоит в получении модели потока посетителей в зонах наблюдения для дискретного временного ряда, обладающей максимальной простотой и минимальным числом параметров и при этом адекватно описывающей наблюдения.
В работе применяются такие критерии как: критерий, Дики-Фуллера, критерий KPSS, информационный критерий Шварца и метод наименьших квадратов.
В данной работе рассматривалась задача получения модели потока посетителей в зонах наблюдения для дискретного временного ряда, обладающей максимальной простотой и минимальным числом параметров и при этом адекватно описывающей наблюдения.
Поскольку предоставленные данные являются случайными величинами, были рассмотрены некоторые виды стохастических моделей, методы их построения и оценки параметров полученной модели.
В первой главе рассматривались основные понятия, применяемые в данной работе, такие как временной ряд, случайный процесс, понятие стационарности временного ряда, как в широком, так и в узком смысле, а также критерии по которым временной ряд исследовался на стационарность. Это критерий Дикки - Фуллера и критерий Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина или проще говоря KPSS критерий.
В ходе исследований наблюдаемый временной ряд не прошел проверку на стационарность, поэтому во второй главе рассматривались методы ухода от нестационарности. Были построены временный ряды первых и вторых разностей, поскольку рассмотрение разностей является основным методом приведения ряда к стационарному виду. Но данный метод потерпел поражение, поэтому были рассмотрены различные виды трендов и выделен периодический тренд с помощью конечного отрезка ряда Фурье, коэффициенты при этом оценивались методом наименьших квадратов. Наилучшими, в смысле суммарной среднеквадратической ошибки оказались тригонометрические полиномы 7 и 8 порядка. После устранения тренда временной ряд прошел проверку на стационарность. Таким образом была подтверждена гипотеза о стационарности временных рядов двумя различными критериями.
В третьей главе рассматривались модели типа ARIMA(p, d, q) и типа GARCH (p, q). Был подобран порядок модели и оценены параметры методом наименьших квадратов.
В итоге было выяснено, что временной ряд потока покупателей лучше всего описывается моделью типа GARCH (1,1), хотя модели типа ARMA(p, q) тоже достаточно неплохо описывают общую динамику наблюдений. Но поскольку эти модели плохо фиксируют выбросы для дальнейших исследований была выбрана модель GARCH (1,1). Наилучшая модель выбиралась с помощью информационного критерия Шварца, значение статистики которого и подтвердило правильность выбора модели.
Все вычисления проводись с помощью пакета прикладных программ MATLAB.
В общем случае для практического моделирования с использованием стохастических моделей необходимо выполнить следующее:
1. Выбрать порядок модели (значения p, d, q);
2. Оценить параметры модели;
3. Провести диагностику модели (правильно ли была выбрана модель и не
нарушаются ли какие-либо предположения).
На данном этапе выполнены два первых пункта. Следующим этапом работы будет проверка адекватности моделей. Также предполагается осуществить прогноз по полученной модели и сделать выводы.
Поскольку предоставленные данные являются случайными величинами, были рассмотрены некоторые виды стохастических моделей, методы их построения и оценки параметров полученной модели.
В первой главе рассматривались основные понятия, применяемые в данной работе, такие как временной ряд, случайный процесс, понятие стационарности временного ряда, как в широком, так и в узком смысле, а также критерии по которым временной ряд исследовался на стационарность. Это критерий Дикки - Фуллера и критерий Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина или проще говоря KPSS критерий.
В ходе исследований наблюдаемый временной ряд не прошел проверку на стационарность, поэтому во второй главе рассматривались методы ухода от нестационарности. Были построены временный ряды первых и вторых разностей, поскольку рассмотрение разностей является основным методом приведения ряда к стационарному виду. Но данный метод потерпел поражение, поэтому были рассмотрены различные виды трендов и выделен периодический тренд с помощью конечного отрезка ряда Фурье, коэффициенты при этом оценивались методом наименьших квадратов. Наилучшими, в смысле суммарной среднеквадратической ошибки оказались тригонометрические полиномы 7 и 8 порядка. После устранения тренда временной ряд прошел проверку на стационарность. Таким образом была подтверждена гипотеза о стационарности временных рядов двумя различными критериями.
В третьей главе рассматривались модели типа ARIMA(p, d, q) и типа GARCH (p, q). Был подобран порядок модели и оценены параметры методом наименьших квадратов.
В итоге было выяснено, что временной ряд потока покупателей лучше всего описывается моделью типа GARCH (1,1), хотя модели типа ARMA(p, q) тоже достаточно неплохо описывают общую динамику наблюдений. Но поскольку эти модели плохо фиксируют выбросы для дальнейших исследований была выбрана модель GARCH (1,1). Наилучшая модель выбиралась с помощью информационного критерия Шварца, значение статистики которого и подтвердило правильность выбора модели.
Все вычисления проводись с помощью пакета прикладных программ MATLAB.
В общем случае для практического моделирования с использованием стохастических моделей необходимо выполнить следующее:
1. Выбрать порядок модели (значения p, d, q);
2. Оценить параметры модели;
3. Провести диагностику модели (правильно ли была выбрана модель и не
нарушаются ли какие-либо предположения).
На данном этапе выполнены два первых пункта. Следующим этапом работы будет проверка адекватности моделей. Также предполагается осуществить прогноз по полученной модели и сделать выводы.
