ИССЛЕДОВАНИЕ ГИБРИДНЫХ RQ-СИСТЕМ
|
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Математическая модель гибридной RQ-системы 7
1.1 Система уравнений Колмогорова 9
1.2 Система уравнений характеристических функций 11
2 Метод асимптотического анализа в условии большой задержки 13
2.1 Асимптотика первого порядка 14
2.2 Асимптотика второго порядка 17
3 Численный анализ 23
3.1 Алгоритм нахождения стационарных вероятностей 23
3.2 Сравнение результатов асимптотических и численных методов 32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 39
ЛИТЕРАТУРА 40
ПРИЛОЖЕНИЕ А Алгоритм вычисления матрицы А 43
1 Математическая модель гибридной RQ-системы 7
1.1 Система уравнений Колмогорова 9
1.2 Система уравнений характеристических функций 11
2 Метод асимптотического анализа в условии большой задержки 13
2.1 Асимптотика первого порядка 14
2.2 Асимптотика второго порядка 17
3 Численный анализ 23
3.1 Алгоритм нахождения стационарных вероятностей 23
3.2 Сравнение результатов асимптотических и численных методов 32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 39
ЛИТЕРАТУРА 40
ПРИЛОЖЕНИЕ А Алгоритм вычисления матрицы А 43
В настоящее время сложно представить жизнь без использования средств связи и систем передачи данных. Еще двадцать лет назад люди и представить себе не могли, что мир может стать настолько информационным. Современные технологии с каждым годом охватывают все больше сфер человеческой деятельности. Однако необходимо понимать, что с увеличением объема информации, дальности и качества связи, требования к технологиям возрастают, а это в свою очередь создает необходимость их оптимизировать.
Для того чтобы оптимизировать столь масштабные информационные и технические сети, на каждый тип реальной системы строится своя индивидуальная математическая модель. В качестве математических моделей реальных экономических, технических, информационных систем часто используются различные модели теории массового обслуживания (ТМО) [1, 2].
Теория массового обслуживания - раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из неё, длительности ожидания и длины очередей. Она базируется на теории вероятностей и математической статистики.
Основоположником теории массового обслуживания считается датский учёный Агнер Краруп Эрланг. А. К. Эрланг, решая практические задачи совершенствования работы систем связи, вывел ряд формулировок и формул, являющихся базовыми в теории массового обслуживания.
В теории массового обслуживания (ТМО) различают системы с очередью, потерями, смешанные, но особый" интерес представляют системы с повторными вызовами или RQ-системы (Retrial Queueing System).
В настоящее время изучению RQ-систем, которые являются математическими моделям реальных систем call-центров [3-5], телекоммуникационных сетей связи [6], компьютерных сетей, систем в экономике уделяется большое внимание. Это обусловлено их широким практическим применением. Системы с повторными вызовами используют для анализа и исследования процессов функционирования телекоммуникационных и компьютерных систем, проектирования телефонных сетей, мобильных сотовых радиосетей и во многих других областях [7-9].
Такие системы характеризуются тем, что клиенты (заявки, звонки, сообщения и т.д.) не могут быть обслужены и вынуждены ждать, после чего, они вновь обращаются к прибору с целью обслужиться. Как правило, рассматриваются RQ-системы, в которых входящие вызовы либо сразу обслуживаются прибором, либо из -за его занятости уходят в зону ожидания, называемую орбитой, и уже обращаются за обслуживанием к прибору после случайной задержки.
Исследованиям RQ-систем посвящено большое количество работ. Первые системы такого рода были рассмотрены Р.И. Вилкинсоном [10] и Дж. Коэном [11]. Наиболее подробное их описание, сравнение с классическими системами массового обслуживания, основные методы и подходы исследования таких моделей отражены в работах Г.И. Фалина [12-14] и Дж. Арталехо [15,16]. Только в монографии Д.Р. Арталехо приведено более семисот ссылок на издания различного уровня. Также в числе таких исследователей были А. Айссани [17], А.Н. Дудин [18], Т. Фунг-Дук, А.З. Меликов, С.Н. Степанов, А.А. Назаров и другие ученые.
Многие из поставленных задач в моделях систем массового обслуживания решаются численно [19] либо аналитически. Чаще всего эти способы решения применим, когда случайные процессы, протекающие в моделях СМО описываются при помощи экспоненциального распределения, или же когда СМО имеют более простую структуру, например являются однокональными, имеют только один источник повторных вызовов и др., поскольку в целом данные методы более применимы к менее трудоемким задачам и задачам более простой структуры. Иногда становится затруднительно или же вовсе невозможно применение численных и аналитических методов и тогда используются альтернативные методы решения поставленных задач, например метод асимптотического анализа.
Метод асимптотического анализа RQ-систем заключается в получении каких-либо характеристик исследуемого процесса при выполнении некоторого предельного условия, вид которого конкретизируется, исходя из поставленных задач. Асимптотические методы применялись такими математиками, как Д. И. Бурман и Д. Р. Смит [20], А.А. Назаров [21-23], В.В. Анисимов [25], А.А. Боровков [26] и др.
RQ-системы с очередью исследовались такими учеными как: Арталехо [27,28], Г.И. Фалин [12], А. Эконому [29], Ю. Кернер [30], М. Хавив [31] и другие. Также данная система рассматривалась в работе Назарова А.А. и Анисимовой А.А [32].
Приведём пример. Предположим, что на телефон некоторого call-центра в случайном порядке поступают вызовы. Это может быть регистратура в больнице или, к примеру, справочное бюро. Если в момент поступления вызова телефон свободен, то абонент обслуживается (происходит запись к врачу, предоставляется какая-либо информация), при этом в общем случае разговор длится случайное время. Если же телефон занят, то образуется очередь, где клиенты будут ожидать некоторое время и по очереди получать обслуживание. В многих call-центрах очередь ограничена и вызовы, превышающие определенное число, сбрасываются. Тогда клиенты повторно пытаются дозвониться в фирму.
Такие задачи могут быть описаны в виде математических моделей гибридных RQ-систем, где элементами системы являются и очередь, и орбита.
Изучению и анализу таких моделей посвящена данная выпускная квалификационная работа.
Цель работы - исследование гибридной RQ-системы с очередью M|M|1|N методом асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите.
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
1. Построить математическую модель RQ-системы вида M|M|1|N с очередью.
2. Предложить модификацию метода асимптотического анализа в условии большой задержки для нахождения стационарного распределения числа заявок на орбите.
3. Разработать программу, реализующую алгоритм вычисления
распределения вероятностей числа заявок в системе (на орбите и в очереди) с помощью численных методов.
Для того чтобы оптимизировать столь масштабные информационные и технические сети, на каждый тип реальной системы строится своя индивидуальная математическая модель. В качестве математических моделей реальных экономических, технических, информационных систем часто используются различные модели теории массового обслуживания (ТМО) [1, 2].
Теория массового обслуживания - раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из неё, длительности ожидания и длины очередей. Она базируется на теории вероятностей и математической статистики.
Основоположником теории массового обслуживания считается датский учёный Агнер Краруп Эрланг. А. К. Эрланг, решая практические задачи совершенствования работы систем связи, вывел ряд формулировок и формул, являющихся базовыми в теории массового обслуживания.
В теории массового обслуживания (ТМО) различают системы с очередью, потерями, смешанные, но особый" интерес представляют системы с повторными вызовами или RQ-системы (Retrial Queueing System).
В настоящее время изучению RQ-систем, которые являются математическими моделям реальных систем call-центров [3-5], телекоммуникационных сетей связи [6], компьютерных сетей, систем в экономике уделяется большое внимание. Это обусловлено их широким практическим применением. Системы с повторными вызовами используют для анализа и исследования процессов функционирования телекоммуникационных и компьютерных систем, проектирования телефонных сетей, мобильных сотовых радиосетей и во многих других областях [7-9].
Такие системы характеризуются тем, что клиенты (заявки, звонки, сообщения и т.д.) не могут быть обслужены и вынуждены ждать, после чего, они вновь обращаются к прибору с целью обслужиться. Как правило, рассматриваются RQ-системы, в которых входящие вызовы либо сразу обслуживаются прибором, либо из -за его занятости уходят в зону ожидания, называемую орбитой, и уже обращаются за обслуживанием к прибору после случайной задержки.
Исследованиям RQ-систем посвящено большое количество работ. Первые системы такого рода были рассмотрены Р.И. Вилкинсоном [10] и Дж. Коэном [11]. Наиболее подробное их описание, сравнение с классическими системами массового обслуживания, основные методы и подходы исследования таких моделей отражены в работах Г.И. Фалина [12-14] и Дж. Арталехо [15,16]. Только в монографии Д.Р. Арталехо приведено более семисот ссылок на издания различного уровня. Также в числе таких исследователей были А. Айссани [17], А.Н. Дудин [18], Т. Фунг-Дук, А.З. Меликов, С.Н. Степанов, А.А. Назаров и другие ученые.
Многие из поставленных задач в моделях систем массового обслуживания решаются численно [19] либо аналитически. Чаще всего эти способы решения применим, когда случайные процессы, протекающие в моделях СМО описываются при помощи экспоненциального распределения, или же когда СМО имеют более простую структуру, например являются однокональными, имеют только один источник повторных вызовов и др., поскольку в целом данные методы более применимы к менее трудоемким задачам и задачам более простой структуры. Иногда становится затруднительно или же вовсе невозможно применение численных и аналитических методов и тогда используются альтернативные методы решения поставленных задач, например метод асимптотического анализа.
Метод асимптотического анализа RQ-систем заключается в получении каких-либо характеристик исследуемого процесса при выполнении некоторого предельного условия, вид которого конкретизируется, исходя из поставленных задач. Асимптотические методы применялись такими математиками, как Д. И. Бурман и Д. Р. Смит [20], А.А. Назаров [21-23], В.В. Анисимов [25], А.А. Боровков [26] и др.
RQ-системы с очередью исследовались такими учеными как: Арталехо [27,28], Г.И. Фалин [12], А. Эконому [29], Ю. Кернер [30], М. Хавив [31] и другие. Также данная система рассматривалась в работе Назарова А.А. и Анисимовой А.А [32].
Приведём пример. Предположим, что на телефон некоторого call-центра в случайном порядке поступают вызовы. Это может быть регистратура в больнице или, к примеру, справочное бюро. Если в момент поступления вызова телефон свободен, то абонент обслуживается (происходит запись к врачу, предоставляется какая-либо информация), при этом в общем случае разговор длится случайное время. Если же телефон занят, то образуется очередь, где клиенты будут ожидать некоторое время и по очереди получать обслуживание. В многих call-центрах очередь ограничена и вызовы, превышающие определенное число, сбрасываются. Тогда клиенты повторно пытаются дозвониться в фирму.
Такие задачи могут быть описаны в виде математических моделей гибридных RQ-систем, где элементами системы являются и очередь, и орбита.
Изучению и анализу таких моделей посвящена данная выпускная квалификационная работа.
Цель работы - исследование гибридной RQ-системы с очередью M|M|1|N методом асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите.
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
1. Построить математическую модель RQ-системы вида M|M|1|N с очередью.
2. Предложить модификацию метода асимптотического анализа в условии большой задержки для нахождения стационарного распределения числа заявок на орбите.
3. Разработать программу, реализующую алгоритм вычисления
распределения вероятностей числа заявок в системе (на орбите и в очереди) с помощью численных методов.
В работе была исследована гибридная RQ-система с очередью M|M| 1 |N методом асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите.
Выполнены следующие задачи:
1. Построена математическая модель RQ-системы вида M|M|1|N с очередью.
2. Предложена модификация метода асимптотического анализа в условии большой задержки для нахождения стационарного распределения числа заявок на орбите.
3. Разработана программа, реализующая алгоритм вычисления распределения вероятностей числа заявок в системе (на орбите и в очереди) с помощью численных методов.
По результатам работы был успешно представлен доклад на Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» 26-28 мая 2022 г. (сертификат).
Выполнены следующие задачи:
1. Построена математическая модель RQ-системы вида M|M|1|N с очередью.
2. Предложена модификация метода асимптотического анализа в условии большой задержки для нахождения стационарного распределения числа заявок на орбите.
3. Разработана программа, реализующая алгоритм вычисления распределения вероятностей числа заявок в системе (на орбите и в очереди) с помощью численных методов.
По результатам работы был успешно представлен доклад на Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» 26-28 мая 2022 г. (сертификат).
Подобные работы
- ИССЛЕДОВАНИЕ ТАНДЕМНОЙ ГИБРИДНОЙ СИСТЕМЫ КАК МОДЕЛИ СЕРВИСАЧАТ-БОТА С ОБРАЩЕНИЕМ К ОПЕРАТОРУ
Дипломные работы, ВКР, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4600 р. Год сдачи: 2022 - ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ УЗЛА ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ С УЧЁТОМ
ВЛИЯНИЯ ЭТАПА СБОРА ТРАФИКА НА ШЛЮЗЕ
Бакалаврская работа, информатика. Язык работы: Русский. Цена: 4580 р. Год сдачи: 2022