АННОТАЦИЯ 3
Введение 5
1 Постановка задачи 8
2 Построение модели 10
2.1 Построение решающей процедуры 10
2.2 Построение оценки неизвестной дисперсии 15
3 Результаты моделирования 17
3.1 Результаты моделирования на сгенерированных данных 17
3.2 Результаты моделирования на реальных данных 26
Заключение 34
Список использованной литературы 35
Приложение А Код имитационной модели 37
Актуальность темы исследования. При работе с экспериментальными данными часто случается, что параметры математических моделей на разных участках могут значительно отличаться друг от друга. Такие изменения характеристик или даже самого вида случайного процесса называются разладкой. Задача обнаружения момента разладки случайного процесса является одной из широко распространенных задач анализа и обработки информации. Многие прикладные задачи анализа данных в различных областях можно свети к задаче обнаружения разладки. Приведем несколько примеров.
В экономике - анализ финансовых рынков и контроль качества выпускаемой продукции.
В метеорологии - ученые получают множество данных при исследовании земной коры. И для предсказания землетрясений или других бедствий на основе анализа показателей датчиков сейсмических станций, необходимо определять моменты изменения свойств фиксируемых процессов.
В медицине - при мониторинге жизненных показателей тяжелобольных пациентов также возникает задача обнаружения разладки, так как резкое изменения состояния больного может указывать на опасность для его жизни.
В обработки сигналов в различных компьютерных системах. Пусть имеются некоторые датчики, мониторящие технологический процесс. Этот процесс находится в некотором нормально функционирующем состоянии. Но в некоторый момент времени может произойти сбой и этой может означать поломку в системе, которую необходимо устранить как можно скорее.
Примеры этих и других исследований можно найти в работах (1) - (5). Как можно заметить все эти задачи требуют в качестве решения нахождение алгоритма, который по стохастическому процессу наблюдений сможет найти момент разладки как можно более точно и с наименьшей задержкой. Из этих соображений можно выделить две наиболее важных характеристик такой процедуры. Первая связана с как можно большей скоростью обнаружения разладки после того как она произошла - то есть среднее время между моментом разладки и его обнаружением или кратко среднее время запаздывания. Вторая характеристика связана с соображением что алгоритм должен как можно реже ошибаться, выдавая как можно меньше ложных тревог - это среднее время между ложными тревогами.
Чаще всего в качестве модели для обнаружения разладки случайного процесса используют авторегрессию. Основная идея авторегрессии в том, что значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда.
Существует множество различных алгоритмов обнаружения момента разладки случайного процесса, но их условно можно разделить на две группы: методы апостериорного обнаружения и последовательные методы.
При апостериорном обнаружении мы предполагаем, что в некоторый момент произошло изменение характеристик процесса. И, чтобы оценить момент этого изменения, мы собираем всю информацию о процессе. И делаем выводы по результатам всей этой информации в целом.
Последовательные методы, напротив, основаны на том, что на каждом шаге наблюдения мы используем только информацию, полученную на предыдущих этапах. И на основе этой информации либо принимается решение о наличии разладки, либо — о продолжении наблюдений. Соответственно, при использовании этого метода возникают ложные тревоги и задержки нахождения момента разладки.
В этой работе процедура обнаружения разладки будет основана на последовательном сравнении оценок параметров на участках наблюдения отстоящих друг от друга на заданную величину. Чтобы построить эти оценки необходимо знать дисперсию шумов, но она часто является неизвестной и необходимо построить ее оценку. Способы нахождения оценки дисперсии были предложены в работах (6) - (9).
Цель и задачи работы. Целью работы является построение процедуры обнаружения разладки авторегрессионого процесса AR(p) с неизвестным параметром дисперсии шума и проверка адекватности ее работы. Для достижения этой цели необходимо выполнить следующий задачи:
1. Построить процедуру для обнаружения разладки случайного процесса
2. Построить процедуру оценки множителя неизвестного шума
3. Провести теоретические исследования свойств построенных процедур
4. Провести исследование работоспособности данного алгоритма на основе сгенерированных данных
5. Применить процедуру к реальным данным и посмотреть на эффективность ее работы.
В данной работе рассмотрена процедура обнаружения момента разладки стохастического процесса авторегрессии AR(p) c неизвестным параметром множителя дисперсии шума.
Разработана процедура обнаружения разладки случайного процесса и приведены ее свойства. Так же был приведен алгоритм построение множителя неизвестного шума, что позволила протестировать процедуру на реальных данных. Исследуемая процедура реализована в виде программного кода на языке программирования Python.
Эффективность разработанной процедуры, протестирована как на сгенерированных данных, где теоретические параметры были известны, так и на реальных данных котировок акций крупных российских компаний.
В качестве итогового вывода можно утверждать о работоспособности процедуры в ситуациях, когда дисперсия шума неизвестна.
