Введение 3
1 Описание классических математических моделей 5
1.1 Модели Моно и Герберта роста популяций микроорганизмов 5
1.2 Модель Стритера-Фелпса 9
1.3 Уравнения мелкой воды 12
2 Модификация моделей Г ерберта и Стритера-Фелпса
с присоединением уравнений мелкой воды 13
2.1 Постановка задачи 13
2.2 Постановка разностной задачи самоочищения 15
2.3 Основные определения теории разностных схем. Теорема Лакса 17
2.4 Исследование устойчивости, погрешности аппроксимации и
сходимости схемы Лакса-Фридрихса 20
3 Результаты численных расчетов. Обсуждение результатов 28
Заключение 35
Литература 36
На протяжении многих столетий вопрос о загрязнении водных объектов является актуальным. Во многом загрязнение остается незаметным за счет того, что солнце, живая растительность, а также кислород, растворенный в воде, обеспечивают самоочищение водоемов, при условии поступления органических отбросов в относительно малых объемах. С развитием промышленности, сельского хозяйства способность к самоочищению потеряли многие реки. Так с начала XX века, европейские реки, такие как Темза, Сена, превратились в сточные канавы. Река Индии Ганг, к примеру, является одновременно святой и опасной для жизни человека. В ней проводят обряды, сбрасывают сточные отходы, трупы животных и людей. Не удивительно, что миллионы верующих погибают от инфекционных заболеваний [1].
Со сточными водами в реки попадают: нефть, продукты её переработки, удобрения и пестициды с сельскохозяйственных угодий. Большой угрозой для чистоты водоемов является водный транспорт. Крупные аварии судов и нефтяных танкеров нарушают экосистему, что приводят к плачевным последствиям. При небольшом загрязнении самоочищение воды происходит достаточно быстро. При попадании большого объема выбросов в водоем, естественная способность самоочищения теряется. Отсюда следует, что самоочищение рек и других водоемов возможно только при насыщении их отбросами до определенного предела.
На р. Томи в черте г. Томска находятся три створа наблюдений за химическим составом воды. Верхний фоновой створ расположен в 0.3 км выше города и совмещен с водопостом. Промежуточный створ - 2 км ниже города. Нижний контрольный створ - 3.5 км ниже города (р.п. Черемошники) [2].
Формирование химического состава поверхностных вод р. Томи у г. Томска происходит за счет поступления сточных вод по всей длине реки. Река Томь является единственной водной артерией, на которой находятся ведущие отрасли современной индустрии - черной и цветной металлургии. Вода на таких производствах используется для охлаждения печей, металлопроката, в качестве транспортирующей среды, для промывки и растворения реагентов. Сточные воды этих предприятий загрязнены взвесью пустой породы, а также ионами тяжелых металлов. Цинк, никель широко используются в качестве покрытия железа и стали, получения латуни.
Значительную долю загрязнений в бассейн р. Томи вносят сточные воды коксохимических предприятий. Основными ингредиентами этих вод является фенолы. Так в Томской области добыча нефти и газа связана с традиционными и специфическими экологическими проблемами. В таких районах строятся емкости для отходов загрязненных химикатами и нефтепродуктами. В любой момент может произойти катастрофа, стенки емкости могут не выдержать и загрязнить прилегающие территории. Трубопроводы, по которым транспортируют нефть, быстро разрушаются, что приводит к авариям с разливом нефти на больших площадях. В 80-е годы прошлого столетия при освоении нового месторождения нефти в Томской области был уничтожен бобровый заказник. Из районов нефтедобычи уходят звери, а с ними исчезает среда традиционного природопользования коренных народов. В результате биохимического и химического окисления концентрация нефтепродуктов в воде может существенно снижаться, при этом значительным изменениям может подвергаться их химический состав.
Целью данной работы служит построение одномерной модели процесса самоочищения. Постановка математической модели описания процессов самоочищения водной среды позволяет ответить на ряд вопросов: 1) Какова динамика поведения микроорганизмов и потребления субстрата? 2) Какие режимы оптимальны для процесса биологической очистки?
Построена одномерная математическая модель, описывающая процесс самоочищения загрязненного участка реки. В её основе лежит модификация математических моделей Моно-Герберта и Стритера-Фелпса с применением уравнений мелкой воды. Проведено исследование свойств схемы Лакса-Фридрихса используемой при разностной аппроксимации модели. Показано, что она имеет первый порядок по пространственной переменной и по времени. Кроме того указанная схема является условно устойчивой по начальным данным. Показана сходимость решений разностной задачи к решению дифференциальной задачи. Даётся анализ результатов, полученных с помощью разностного аналога предложенной математической модели. Результаты проделанной работы были доложены на еже годовых студенческих конференциях ММФ [13].
