ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХРЕСУРСНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИСКРЕТНЫМИ ЗАПРОСАМИ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА
|
АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Исследование системы массового обслуживания с дискретными запросами случайного объема 8
1.1 Математическая модель двухресурсной СМО 8
1.2 Метод динамического просеивания 9
1.3 Уравнение Колмогорова 10
1.4 Дифференциальные уравнения для производящей функции 11
1.5 Метод моментов 13
1.6 Моделирование и анализ полученных результатов 15
1.6.1 Геометрическое распределение вероятностей заявок на ресурсы 15
1.6.2 Пуассоновское распределение вероятностей заявок на ресурсы 21
1.6.3 Биномиальное распределение вероятностей заявок на ресурсы 25
1.7 Выводы по главе 29
2 Исследование системы массового обслуживания с марковским модулированным входящим потоком дискретных запросов случайного объема 30
2.1 Математическая модель 30
2.2 Метод динамического просеивания 31
2.3 Дифференциальные уравнения Колмогорова 32
2.4 Дифференциальные уравнения для характеристической функции 33
2.5 Асимптотический анализ первого порядка 34
2.6 Асимптотический анализ второго порядка 37
2.7 Моделирование полученных результатов 41
2.8 Выводы по главе 43
3 Исследование системы массового обслуживания с рекуррентным потоком дискретных запросов случайного объема 44
3.1 Математическая модель 44
3.2 Метод динамического просеивания 45
3.3 Дифференциальные уравнения Колмогорова 47
3.4 Дифференциальное уравнение для характеристической функции 48
3.5 Асимптотический анализ первого порядка 49
3.6 Асимптотический анализ второго порядка 51
3.7 Моделирование полученных результатов 55
3.8 Выводы по главе 57
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 59
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Исследование системы массового обслуживания с дискретными запросами случайного объема 8
1.1 Математическая модель двухресурсной СМО 8
1.2 Метод динамического просеивания 9
1.3 Уравнение Колмогорова 10
1.4 Дифференциальные уравнения для производящей функции 11
1.5 Метод моментов 13
1.6 Моделирование и анализ полученных результатов 15
1.6.1 Геометрическое распределение вероятностей заявок на ресурсы 15
1.6.2 Пуассоновское распределение вероятностей заявок на ресурсы 21
1.6.3 Биномиальное распределение вероятностей заявок на ресурсы 25
1.7 Выводы по главе 29
2 Исследование системы массового обслуживания с марковским модулированным входящим потоком дискретных запросов случайного объема 30
2.1 Математическая модель 30
2.2 Метод динамического просеивания 31
2.3 Дифференциальные уравнения Колмогорова 32
2.4 Дифференциальные уравнения для характеристической функции 33
2.5 Асимптотический анализ первого порядка 34
2.6 Асимптотический анализ второго порядка 37
2.7 Моделирование полученных результатов 41
2.8 Выводы по главе 43
3 Исследование системы массового обслуживания с рекуррентным потоком дискретных запросов случайного объема 44
3.1 Математическая модель 44
3.2 Метод динамического просеивания 45
3.3 Дифференциальные уравнения Колмогорова 47
3.4 Дифференциальное уравнение для характеристической функции 48
3.5 Асимптотический анализ первого порядка 49
3.6 Асимптотический анализ второго порядка 51
3.7 Моделирование полученных результатов 55
3.8 Выводы по главе 57
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 59
С высокой скоростью развития информационных технологий возникает необходимость в оптимизации и контроле работы тех устройств, которые позволяют передавать и сохранять большие объемы информации. Именно теория массового обслуживания (далее, ТМО) предоставляет обширный математический аппарат для изучения информационных сетей. Изучая математическую модель ТМО, возможно не только уточнять параметры изучаемых систем, но и решать многие проблемы быстродействия и стабильности. Нельзя переоценить важность теории массового обслуживания, поскольку в последние десятилетия информационные технологии стали неотъемлемой частью государственных структур и сфер жизнедеятельности человека — медицины, энергетики, банковского дела [8, 9].
Необходимо расширение границ изученной теории данной сферы математики, так как в самой теории массового обслуживания существует лишь небольшое количество моделей, для которых возможно с максимальной точностью получить результаты и, используя аналитические методы, найти вероятностные характеристики исследуемых систем массового обслуживания (далее, СМО). В качестве примеров таких систем можно привести марковские системы, определяемые цепями Маркова.
Во многих сферах жизни теория массового обслуживания используется уже долгое время, например, в сферах сотовой связи и телекоммуникаций. Однако сама теория массового обслуживания обрела свой вес и заинтересованность учеными мира относительно недавно — с середины прошлого века [10]. Тогда были изучены простейшие системы массового обслуживания, подробно анализировались системы с пуассоновским (или, иначе, простейшим) потоком. Начали возникать новые приемы, подходы и алгоритмы для решения нетривиальных и комплексных задач. Во второй половине XX века начала бурно развиваться теория многолинейных систем с повторными вызовами (RQ-системы). Значительную роль сыграло развитие сфер вычислительных систем и технологий связи. В настоящее время любая беспроводная связь — Wi-Fi, LTE или новый формат 5G — находятся под надзором ученых-математиков. Многие технические устройства и системы зависят от этих технологий, от чего развитие теории массового обслуживания актуально и вызывает заинтересованность у многих компаний.
Математики все больше пытаются обобщить свои исследования в области ТМО. Изучаются системы с неограниченным числом приборов, а также системы с процессом поступления заявок, отличным от пуассоновского. Мало изучены такие системы, у которых заявки объединены в пакеты или несут в себе разные типы данных для разных обслуживающих устройств, однако, в настоящее время, исследования таких систем усиливается [11, 15]. Нельзя не отметить влияние на развитие методов исследования ресурсных СМО таких ученых, как К.Е. Самуйлов, Т.В. Бушкова [18, 19, 20, 21], В.А. Наумов [14, 16]. Для исследования ресурсных систем в настоящее время не существует универсального подхода, поэтому в данной работе применяются асимптотические методы исследования СМО, развиваемые на кафедре Теории вероятностей и математической статистики под руководством А.А. Назарова и С.П. Моисеевой [4].
В настоящей работе предлагаются модели, существенно расширяющие область практического применения, а именно двухресурсные СМО с обслуживанием заявок случайных размеров на предоставляемые ресурсы. Для исследования применяется комплекс двух методов — метода динамического просеивания и асимптотического анализа при условии растущей интенсивности входящего потока.
Целью данной работы является построение и исследование математических моделей ресурсных систем с двумя ресурсами. Рассматриваются, также, различные потоки заявок — простейший, марковский модулированный и рекуррентный. Для достижения поставленный цели были выдвинуты и решены следующие задачи:
1) Построить математические модели систем с различными входящими потоками заявок.
2) Найти основные вероятностные характеристики суммарно занимаемых ресурсов каждого типа в системе, чей входящий поток является простейшим.
3) Используя математические методы исследования систем (метод динамического просеивания и асимптотический метод), получить гауссовскую аппроксимацию многомерного стационарного распределения вероятностей суммарного объема занятых ресурсов в системах с MMPP и рекку- рентными потоками.
4) Провести асимптотический анализ при условий растущей интенсивности поступления заявок в потоке [3, 7, 13, 12].
5) Построить моделирования асимптотических распределений для разных систем и провести численный анализ для системы с пуассоновским потоком заявок.
В работе получены новые результаты в области теории массового обслуживания, отличающиеся современностью и научной новизной. Все представленные утверждения содержат подробные доказательства, подкрепленные моделированием. Наиболее значимыми являются следующие результаты:
1) Получены основные вероятностные характеристики для модели с пуассоновским потоком — математическое ожидание и дисперсия суммарного занятого ресурса каждого из типов, а также коэффициент корреляции.
2) При помощи модификации асимптотического анализа при условии растущей интенсивности входящего потока в задачах исследования двухресурсных СМО с ММРР и рекурретным потоками входящих заявок найдено распределение вероятностей объемов занимаемых ресурсов каждого из типов, которое является двумерным гауссовским, чьи среднее и матрица ковариации зависят от моментов параметров системы. В этом заключается значимость данной работы.
При проведении исследования использовались различные математические дисциплины: теория вероятностей и математическая статистика, математический анализ, теория дифференциальных уравнений, теория массового обслуживания и случайных процессов, линейная алгебра [2, 1, 5]. Использовались в процессе исследования систем методы производящей и характеристической функций, асимптотический анализ при условии растущей интенсивности пребывания заявок в систему.
Отдельные положения работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры Теории вероятностей и математической статистики, а также на XX Международной конференции имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2023), проходившей 4 — 9 декабря 2023 года в городе Томск.
Необходимо расширение границ изученной теории данной сферы математики, так как в самой теории массового обслуживания существует лишь небольшое количество моделей, для которых возможно с максимальной точностью получить результаты и, используя аналитические методы, найти вероятностные характеристики исследуемых систем массового обслуживания (далее, СМО). В качестве примеров таких систем можно привести марковские системы, определяемые цепями Маркова.
Во многих сферах жизни теория массового обслуживания используется уже долгое время, например, в сферах сотовой связи и телекоммуникаций. Однако сама теория массового обслуживания обрела свой вес и заинтересованность учеными мира относительно недавно — с середины прошлого века [10]. Тогда были изучены простейшие системы массового обслуживания, подробно анализировались системы с пуассоновским (или, иначе, простейшим) потоком. Начали возникать новые приемы, подходы и алгоритмы для решения нетривиальных и комплексных задач. Во второй половине XX века начала бурно развиваться теория многолинейных систем с повторными вызовами (RQ-системы). Значительную роль сыграло развитие сфер вычислительных систем и технологий связи. В настоящее время любая беспроводная связь — Wi-Fi, LTE или новый формат 5G — находятся под надзором ученых-математиков. Многие технические устройства и системы зависят от этих технологий, от чего развитие теории массового обслуживания актуально и вызывает заинтересованность у многих компаний.
Математики все больше пытаются обобщить свои исследования в области ТМО. Изучаются системы с неограниченным числом приборов, а также системы с процессом поступления заявок, отличным от пуассоновского. Мало изучены такие системы, у которых заявки объединены в пакеты или несут в себе разные типы данных для разных обслуживающих устройств, однако, в настоящее время, исследования таких систем усиливается [11, 15]. Нельзя не отметить влияние на развитие методов исследования ресурсных СМО таких ученых, как К.Е. Самуйлов, Т.В. Бушкова [18, 19, 20, 21], В.А. Наумов [14, 16]. Для исследования ресурсных систем в настоящее время не существует универсального подхода, поэтому в данной работе применяются асимптотические методы исследования СМО, развиваемые на кафедре Теории вероятностей и математической статистики под руководством А.А. Назарова и С.П. Моисеевой [4].
В настоящей работе предлагаются модели, существенно расширяющие область практического применения, а именно двухресурсные СМО с обслуживанием заявок случайных размеров на предоставляемые ресурсы. Для исследования применяется комплекс двух методов — метода динамического просеивания и асимптотического анализа при условии растущей интенсивности входящего потока.
Целью данной работы является построение и исследование математических моделей ресурсных систем с двумя ресурсами. Рассматриваются, также, различные потоки заявок — простейший, марковский модулированный и рекуррентный. Для достижения поставленный цели были выдвинуты и решены следующие задачи:
1) Построить математические модели систем с различными входящими потоками заявок.
2) Найти основные вероятностные характеристики суммарно занимаемых ресурсов каждого типа в системе, чей входящий поток является простейшим.
3) Используя математические методы исследования систем (метод динамического просеивания и асимптотический метод), получить гауссовскую аппроксимацию многомерного стационарного распределения вероятностей суммарного объема занятых ресурсов в системах с MMPP и рекку- рентными потоками.
4) Провести асимптотический анализ при условий растущей интенсивности поступления заявок в потоке [3, 7, 13, 12].
5) Построить моделирования асимптотических распределений для разных систем и провести численный анализ для системы с пуассоновским потоком заявок.
В работе получены новые результаты в области теории массового обслуживания, отличающиеся современностью и научной новизной. Все представленные утверждения содержат подробные доказательства, подкрепленные моделированием. Наиболее значимыми являются следующие результаты:
1) Получены основные вероятностные характеристики для модели с пуассоновским потоком — математическое ожидание и дисперсия суммарного занятого ресурса каждого из типов, а также коэффициент корреляции.
2) При помощи модификации асимптотического анализа при условии растущей интенсивности входящего потока в задачах исследования двухресурсных СМО с ММРР и рекурретным потоками входящих заявок найдено распределение вероятностей объемов занимаемых ресурсов каждого из типов, которое является двумерным гауссовским, чьи среднее и матрица ковариации зависят от моментов параметров системы. В этом заключается значимость данной работы.
При проведении исследования использовались различные математические дисциплины: теория вероятностей и математическая статистика, математический анализ, теория дифференциальных уравнений, теория массового обслуживания и случайных процессов, линейная алгебра [2, 1, 5]. Использовались в процессе исследования систем методы производящей и характеристической функций, асимптотический анализ при условии растущей интенсивности пребывания заявок в систему.
Отдельные положения работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры Теории вероятностей и математической статистики, а также на XX Международной конференции имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2023), проходившей 4 — 9 декабря 2023 года в городе Томск.
В данной работе были исследованы модели двухресурсных систем массового обслуживания с дискретными запросами случайного объема. Были изучены модели со следующими входящими потоками:
1) Пуассоновский или простейший поток.
2) Марковский модулированный входящий поток.
3) Рекуррентный поток.
Рассмотренные в данной работе структуры позволяют расширить границы известных моделей систем массового обслуживания. Получены теоретические результаты, которые могут найти применение во многих практических сферах деятельности.
В работе были достигнуты следующие результаты:
1) Для модели с простейшим потоком, используя метод производящей функции, была найдена характеристическая функция стационарного распределения вероятностей исследуемого двумерного процесса. При помощи метода моментов посчитаны основные вероятностные характеристики. Были найдены вероятности исследуемого процесса при помощи обратного преобразования Фурье. Проведен численный анализ.
2) Для моделей с марковским модулированным входящим и рекуррентным потоками были найдены характеристические функции стационарного распределения вероятностей исследуемого двумерного процесса. Получены значения среднего и матрицы ковариации.
3) При исследовании моделей в главах 2 и 3 использован модифицированный метод асимптотического анализа, что позволило реализовать анализ систем с растущей интенсивностью входящего потока событий.
Доказанные теоремы могут быть использованы в будущем для анализа более сложных систем массового обслуживания.
По результатам работы был сделан доклад на международной конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2023), проходившей 4 — 9 декабря 2023 года в городе Томск и опубликована статья [17]
1) Пуассоновский или простейший поток.
2) Марковский модулированный входящий поток.
3) Рекуррентный поток.
Рассмотренные в данной работе структуры позволяют расширить границы известных моделей систем массового обслуживания. Получены теоретические результаты, которые могут найти применение во многих практических сферах деятельности.
В работе были достигнуты следующие результаты:
1) Для модели с простейшим потоком, используя метод производящей функции, была найдена характеристическая функция стационарного распределения вероятностей исследуемого двумерного процесса. При помощи метода моментов посчитаны основные вероятностные характеристики. Были найдены вероятности исследуемого процесса при помощи обратного преобразования Фурье. Проведен численный анализ.
2) Для моделей с марковским модулированным входящим и рекуррентным потоками были найдены характеристические функции стационарного распределения вероятностей исследуемого двумерного процесса. Получены значения среднего и матрицы ковариации.
3) При исследовании моделей в главах 2 и 3 использован модифицированный метод асимптотического анализа, что позволило реализовать анализ систем с растущей интенсивностью входящего потока событий.
Доказанные теоремы могут быть использованы в будущем для анализа более сложных систем массового обслуживания.
По результатам работы был сделан доклад на международной конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2023), проходившей 4 — 9 декабря 2023 года в городе Томск и опубликована статья [17]
