ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ИНТЕГРАТОРОВ В ЗАДАЧАХ АСТЕРОИДНОЙ ДИНАМИКИ
|
Реферат
Введение 5
1 Программно-математическое обеспечение 7
1.1 Дифференциальные уравнения 7
1.2 Интегратор Эверхарта 8
1.3 Интегратор Гаусса-Эверхарта 11
1.4 Интегратор Грэгга-Булирша-Штера 12
1.5 Программная реализация 14
2 Результаты исследования эффективности интеграторов 16
2.1 Постановка задачи 16
2.2 Объекты 17
2.3 Исследование эффективности интеграторов на примере невозмущенной задачи
двух тел 20
2.3.1 Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта
в зависимости от числа итераций на разных интервалах времени 20
2.3.2 Исследование эффективности интегратора Эверхарта в зависимости
от порядка системы 23
2.3.3 Выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе
Гаусса-Эверхарта 25
2.4. Исследование эффективности интеграторов на примере возмущенной задачи двух тел 27
2.4.1 Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта
в зависимости от числа итераций 27
2.4.2 Исследование эффективности интегратора Эверхарта в зависимости
от порядка системы 30
2.4.3 Выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе
Гаусса-Эверхарта 32
2.4.4 Сравнительная характеристика интеграторов Гаусса-Эверхарта и
Грэгга-Булирша-Штера 34
Заключение 38
Список использованной литературы 40
Приложение А Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и
Гаусса-Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел 42
Приложение Б Исследование эффективности интеграторов Эверхарта,
Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера на примере возмущенной задачи двух тел 47
Введение 5
1 Программно-математическое обеспечение 7
1.1 Дифференциальные уравнения 7
1.2 Интегратор Эверхарта 8
1.3 Интегратор Гаусса-Эверхарта 11
1.4 Интегратор Грэгга-Булирша-Штера 12
1.5 Программная реализация 14
2 Результаты исследования эффективности интеграторов 16
2.1 Постановка задачи 16
2.2 Объекты 17
2.3 Исследование эффективности интеграторов на примере невозмущенной задачи
двух тел 20
2.3.1 Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта
в зависимости от числа итераций на разных интервалах времени 20
2.3.2 Исследование эффективности интегратора Эверхарта в зависимости
от порядка системы 23
2.3.3 Выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе
Гаусса-Эверхарта 25
2.4. Исследование эффективности интеграторов на примере возмущенной задачи двух тел 27
2.4.1 Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта
в зависимости от числа итераций 27
2.4.2 Исследование эффективности интегратора Эверхарта в зависимости
от порядка системы 30
2.4.3 Выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе
Гаусса-Эверхарта 32
2.4.4 Сравнительная характеристика интеграторов Гаусса-Эверхарта и
Грэгга-Булирша-Штера 34
Заключение 38
Список использованной литературы 40
Приложение А Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и
Гаусса-Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел 42
Приложение Б Исследование эффективности интеграторов Эверхарта,
Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера на примере возмущенной задачи двух тел 47
В настоящее время численное моделирование является традиционным и мощным средством для изучения движения астероидов. Безусловно, существуют и другие способы решения подобных задач с астероидами и другими небесными телами. Однако благодаря именно численному методу появилась возможность исследовать орбиты особых астероидов. С помощью этого метода также можно прогнозировать движение небесных тел, оценивать столкновения объектов с планетами, моделировать какие-либо явления и процессы. После появления новых компьютерных технологий решение таких задач по силам практически каждому, у кого есть компьютер, но этого мало - придется изучить вычислительноматематический инструментарий и владеть им на практике. На сегодняшний день существует очень много средств и методов, которые позволяют решить поставленные задачи. Для решения дифференциальных уравнений, которые описывают орбитальное движение, используют приближенные методы интегрирования.
Целью данной работы является изучение методов интегрирования: Эверхарта, Гаусса- Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера. В процессе исследования необходимо выяснить, какой из интеграторов получает более точные результаты за меньшее время. Текущее исследование проводилось с целью развеять споры о том, какой же из интеграторов имеет наибольшую эффективность.
Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:
- исследовать эффективность интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел;
- изучить поведение интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы дифференциальных уравнений в невозмущенной задаче двух тел;
- изучить возможность выбора шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса-Эверхарта в невозмущенной задаче двух тел ;
- исследовать эффективность интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта на примере возмущенной задачи двух тел ;
- изучить эффективность интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы дифференциальных уравнений в возмущенной задаче двух тел ;
- изучить возможность выбора шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса-Эверхарта в возмущенной задаче двух тел ;
- провести сравнительную характеристику интеграторов Эверхарта и Грэгга- Булирша-Штера в возмущенной задаче двух тел.
Кратное содержание работы. В первой главе представлено описание дифференциальных уравнений первого и второго порядков в случае невозмущенной и возмущенной задачи двух тел. Для возмущенного движения перечислены учитываемые внешние воздействия на объект. В данной главе также приведено математическое описание методов Эверхарта, Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера разработанного автором работы программного обеспечения.
Вторая глава посвящена результатам исследования эффективности применения методов Эверхарта, Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера для решения задач астероидной динамики. В этой главе показано, как изменение параметров влияет на эффективность интеграторов Эверхарта, Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера. В интеграторе Эверхарта изучались такие параметры как число итераций и класс системы дифференциальных уравнений. В интеграторе Гаусса-Эверхарта рассматривались число итераций и выбор шага по части переменных. И наконец, интегратор Грэгга-Булирша- Штера тестировался при различных порядках.
Целью данной работы является изучение методов интегрирования: Эверхарта, Гаусса- Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера. В процессе исследования необходимо выяснить, какой из интеграторов получает более точные результаты за меньшее время. Текущее исследование проводилось с целью развеять споры о том, какой же из интеграторов имеет наибольшую эффективность.
Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:
- исследовать эффективность интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел;
- изучить поведение интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы дифференциальных уравнений в невозмущенной задаче двух тел;
- изучить возможность выбора шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса-Эверхарта в невозмущенной задаче двух тел ;
- исследовать эффективность интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта на примере возмущенной задачи двух тел ;
- изучить эффективность интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы дифференциальных уравнений в возмущенной задаче двух тел ;
- изучить возможность выбора шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса-Эверхарта в возмущенной задаче двух тел ;
- провести сравнительную характеристику интеграторов Эверхарта и Грэгга- Булирша-Штера в возмущенной задаче двух тел.
Кратное содержание работы. В первой главе представлено описание дифференциальных уравнений первого и второго порядков в случае невозмущенной и возмущенной задачи двух тел. Для возмущенного движения перечислены учитываемые внешние воздействия на объект. В данной главе также приведено математическое описание методов Эверхарта, Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера разработанного автором работы программного обеспечения.
Вторая глава посвящена результатам исследования эффективности применения методов Эверхарта, Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера для решения задач астероидной динамики. В этой главе показано, как изменение параметров влияет на эффективность интеграторов Эверхарта, Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера. В интеграторе Эверхарта изучались такие параметры как число итераций и класс системы дифференциальных уравнений. В интеграторе Гаусса-Эверхарта рассматривались число итераций и выбор шага по части переменных. И наконец, интегратор Грэгга-Булирша- Штера тестировался при различных порядках.
В ходе данной работы была исследована эффективность трех интеграторов: Эверхарта, Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера. В результате проведенных экспериментов были сделаны следующие выводы.
1. При сравнении интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел было выяснено, что значительный выигрыш в эффективности имеет интегратор Гаусса-Эверхарта, но только для объектов с экстремальным эксцентриситетом.
2. Был проведен подобный эксперимент, но только на примере возмущенной задачи
двух тел. Были получены аналогичные результаты, однако с небольшим отличием: интегратор Гаусса-Эверхарта имеет значительный выигрыш в
эффективности, но только при использовании двух итераций.
3. При изучении интегратора Эверхарта было установлено, что при интегрировании лучше использовать систему дифференциальных уравнений второго порядка на примере невозмущенной задачи двух тел. Подобный эксперимент был проведен на примере возмущенной задачи двух тел, в котором получили точно такой же вывод, как и в невозмущенной задаче двух тел. Наряду с этим хотелось бы из полученных результатов отметить следующее, что в интеграторе Гаусса- Эверхарта явно не хватает возможности для решения системы дифференциальных уравнений второго порядка. Поскольку можно предположить, что с появлением такой возможности интегратор Гаусса-Эверхарта получит более точные результаты за меньшее время, чем интегратор Эверхарта.
4. Далее мы определили, что выбор шага разными методами оказывает несущественное влияние на эффективность интегратора Гаусса-Эверхарта на примере возмущенной и невозмущенной задачи двух тел .
5. В результате дальнейшего изучения Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера на примере возмущенной задачи двух тел определили, что интегратор Гаусса- Эверхарта получает более точные данные за меньшее время, чем интегратор Грэгга-Булирша-Штера.
Таким образом, из полученных выводов становится очевидно, что модифицированный интегратор Гаусса-Эверхарта является наиболее эффективным по 38
сравнению с другими рассмотренными интеграторами: Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера. Вместе с этим хотелось бы отметить, что наиболее оптимальное решение получается при использовании двух итераций; с увеличением числа итераций увеличивается время работы программы, следовательно, эффективность программы уменьшается. Результаты, полученные при анализе порядка системы уравнений, показали, что эффективнее всего использовать систему дифференциальных уравнений второго порядка в интеграторе Эверхарта. Также по полученным результатам удалось разглядеть, что интегратор Гаусса- Эверхарта при решении системы дифференциальных уравнений первого порядка имеет результаты, аналогичные результатам интегратора Эверхарта при решении системы дифференциальных уравнений первого порядка. Выбор шага разными методами оказывает несущественное влияние на эффективность интегратора Гаусса-Эверхарта.
1. При сравнении интеграторов Эверхарта и Гаусса-Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел было выяснено, что значительный выигрыш в эффективности имеет интегратор Гаусса-Эверхарта, но только для объектов с экстремальным эксцентриситетом.
2. Был проведен подобный эксперимент, но только на примере возмущенной задачи
двух тел. Были получены аналогичные результаты, однако с небольшим отличием: интегратор Гаусса-Эверхарта имеет значительный выигрыш в
эффективности, но только при использовании двух итераций.
3. При изучении интегратора Эверхарта было установлено, что при интегрировании лучше использовать систему дифференциальных уравнений второго порядка на примере невозмущенной задачи двух тел. Подобный эксперимент был проведен на примере возмущенной задачи двух тел, в котором получили точно такой же вывод, как и в невозмущенной задаче двух тел. Наряду с этим хотелось бы из полученных результатов отметить следующее, что в интеграторе Гаусса- Эверхарта явно не хватает возможности для решения системы дифференциальных уравнений второго порядка. Поскольку можно предположить, что с появлением такой возможности интегратор Гаусса-Эверхарта получит более точные результаты за меньшее время, чем интегратор Эверхарта.
4. Далее мы определили, что выбор шага разными методами оказывает несущественное влияние на эффективность интегратора Гаусса-Эверхарта на примере возмущенной и невозмущенной задачи двух тел .
5. В результате дальнейшего изучения Гаусса-Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера на примере возмущенной задачи двух тел определили, что интегратор Гаусса- Эверхарта получает более точные данные за меньшее время, чем интегратор Грэгга-Булирша-Штера.
Таким образом, из полученных выводов становится очевидно, что модифицированный интегратор Гаусса-Эверхарта является наиболее эффективным по 38
сравнению с другими рассмотренными интеграторами: Эверхарта и Грэгга-Булирша-Штера. Вместе с этим хотелось бы отметить, что наиболее оптимальное решение получается при использовании двух итераций; с увеличением числа итераций увеличивается время работы программы, следовательно, эффективность программы уменьшается. Результаты, полученные при анализе порядка системы уравнений, показали, что эффективнее всего использовать систему дифференциальных уравнений второго порядка в интеграторе Эверхарта. Также по полученным результатам удалось разглядеть, что интегратор Гаусса- Эверхарта при решении системы дифференциальных уравнений первого порядка имеет результаты, аналогичные результатам интегратора Эверхарта при решении системы дифференциальных уравнений первого порядка. Выбор шага разными методами оказывает несущественное влияние на эффективность интегратора Гаусса-Эверхарта.
Подобные работы
- ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНТЕГРАТОРОВ
ГАУССА-ЭВЕРХАРТА И ЛОББИ В ЗАДАЧАХ АСТЕРОИДНОЙ ДИНАМИКИ
Бакалаврская работа, информатика. Язык работы: Русский. Цена: 4450 р. Год сдачи: 2022