функции кривизны и ее особые точки представляют интерес во многих прикладных областях.
В дифференциальной геометрии понятие кривизны хорошо определено только для класса гладких кривых и поверхностей. В приложениях обычно имеют дело с кусочнолинейными моделями, когда кривая представляется ломаной линией, а поверхность - многогранником.
Глава 1 носит обзорный подготовительный характер. Первый параграф посвящен кривизне плоской кривой. Во втором параграфе рассказывается про вершины плоской кривой. Во втором и в третьем параграфе изложена теория, связывающая понятие вершины плоской кривой с обнулением кручения подходящей пространственной кривой. Вторая глава посвящена опорным вершинам ломаных в пространстве, опорным вершинам плоских многоугольников, теореме Александрова, теореме о четырех экстремальных вершинах.
Постановка задачи
Пусть задана гладкая пространственная кривая, параметризованная длиной дуги. И пусть Мо = r(so') - некоторая неособая точка. Используя кривизну и кручение кривой в окрестности точки Мо и разложение вектор-функции r(s) в ряд Тейлора в окрестности точки Sq , мы получаем в третьей дифференциальной окрестности кривую, подобную кривой моментов в трехмерном пространстве.
Рассмотрим точки s0, sq + As, sQ + 2As, sQ + 3As и образуем выпуклую оболочку Cs этого множества точек. Для достаточно малого As и положительности кривизны и кручения в точке Sq выпуклая оболочка Cs подобна циклическому многограннику трехмерного пространства.
Если ослабить требование положительности кручения кривой, то выпуклая оболочка может не оказаться эквивалентной циклическому многограннику. Составить табличку для небольшого набора точек и возможных знаков кручения, содержащую значения определителя Вандермонда.
Метод, предложенный для исследования локального строения пространственной кривой допускает дальнейшее развитие и может быть продолжен в качестве работы в магистратуре.
