ВВЕДЕНИЕ 3
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОРБИТАЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ 4
2 ЯВНЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ 5
3 ВЛОЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ 7
4 НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ 12
5 ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ ЯВНЫХ И НЕЯВНЫХ МЕТОДОВ 13
6 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 27
В динамической астрономии орбитальное движение формализуется в виде дифференциальных уравнений, которые не имеют решений, выражаемые через известные математические функции. Поэтому они решаются приближенно численными методами на компьютере. В последнее время для моделирования орбит применяют численные методы высоких порядков. Как правило, это — неявные методы Рунге-Кутты с очень сложной программной реализацией. Очевидно, что они применяются для достижения высокой точности рассчитываемых эфемерид. Однако, если требования к точности не столь высоки, возникает вопрос о целесообразности таких сложных методов, при том что существуют более простые явные методы Рунге-Кутты умеренных порядков.
В работе мы поставили цель исследовать этот вопрос, а именно какова может быть численная эффективность явных методов Рунге-Кутты в сравнении с неявными в задачах орбитальной динамики при невысоких требованиях к точности интегрирования. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи: 1) освоить теорию методов Рунге-Кутты; 2) программно реализовать явные методы на языке Delphi для численного решения задач орбитальной динамики; 3) провести численный эксперимент по исследованию эффективности методов в задачах спутниковой и астероидной динамики; 4) проанализировать численные результаты и выработать рекомендации по ис-пользованию явных методов Рунге-Кутты.
Содержательная часть работы состоит из шести разделов. В первом разделе излагается постановка задачи, а также представляются дифференциальные уравнения орбитального движения. Во втором разделе изложена основная теория явных методов Рунге- Кутты, а именно классического метода Рунге-Кутты 4-го порядка. Третий раздел также описывает теорию явных методов, но уже вложенных, в частности, были представлены схемы Бутчера для следующих методов: Мерсона и Фельберга 4-го порядка, Дормана- Принса 5-го порядка, Вернера 6-го порядка, Фельберга 7-го порядка, Дормана-Принса 8¬го порядка. Четвёртый раздел посвящён теории неявных методов Рунге-Кутты. В пятом разделе выявляются достоинства и недостатки явных и неявных методов Рунге-Кутты. В шестом, заключительном, разделе проводится сравнительный анализ численной эффективности методов.
Таким образом, в результате выполненной дипломной работы мы получили следующие результаты:
1. Освоена теория методов Рунге-Кутты.
2. Программно реализованы явные методы на языке Delphi для численного решения задач орбитальной динамики.
3. Проведены численные эксперименты по исследованию эффективности методов в задачах спутниковой и астероидной динамики.
4. Выявлено, что наиболее эффективный метод среди рассмотренных явных методов Рунге-Кутты: это — вложенный метод Дормана-Принса 8-го порядка.
5. Установлено, что на коротких интервалах времени при умеренных требованиях к точности моделирования явные методы Рунге-Кутты могут быть более предпочтительными.
6. Высокая эффективность метода Lobbie на длительных интервалах объясняется, скорее всего, тем, что он обладает геометрическими свойствами, что благоприятно влияет на процесс численного интегрирования при долгосрочном моделировании.
На основе полученных результатов, мы рекомендуем использовать явные методы Рунге-Кутты на коротких интервалах времени при умеренных требованиях к точности, так как при таких условиях они по эффективности могут быть сравнимы с эффективностью неявных методов высоких порядков.
