АННОТАЦИЯ 3
Введение 3
1 Пример рассматриваемой системы в реальной жизни 5
2 Математическая модель 6
3 Первый этап асимптотического анализа 14
4 Второй этап асимптотического анализа 19
5 Численная реализация 35
Заключение 40
Список использованных источников и литературы 42
В начале 20-го века, Агнер Краруп Эрланг стал одним из выдающих математиков, статистиков и инженеров. Работая в телефонной компании CTC в Копенгагене, он столкнулся с задачей определения оптимального количества операторов, необходимого для обработки заданного объёма телефонных звонков. В 1909 году в своём труде «Теория вероятностей и телефонные разговоры» он впервые показал, что распределение Пуассона применимо к случайному потоку входящих вызовов [1].
На основе этих идей возникла теория массового обслуживания как инструмент для решения практических задач, возникающих в телекоммуникационных, производственных и других системах, предназначенных для обработки большого количества запросов на предоставление различных видов услуг. В середине 20-го века российский математик Александр Яковлевич Хинчин впервые ввёл и использовал термин «теория массового обслуживания» [2, 3].
Со временем бурное развитие телекоммуникационных технологий - таких как компьютерные и телефонные сети - играет все более важную роль. Для удовлетворения массовых запросов были разработаны системы массового обслуживания [4, 5, 6, 7]. Задачи анализа и оптимизации таких систем приобрели особую актуальность. Математические модели, помогающие лучше понимать и прогнозировать динамику передачи данных, привлекают все большее внимание. Потоки MMPP (марковский модулированный поток) и потоки MAP (Markov Arrival Process) являются мощными математическими инструментами для моделирования различных моделей трафика [8, 9]. Их применение в теории массового обслуживания может обеспечить более глубокое понимание структуры и характеристик трафика, способствуя разработке эффективных стратегий управления сетью [10, 11].
Двумерный маркированный марковский модулированный поток (маркированный MMPP), управляемый марковским процессом, является моделью, позволяющей исследовать системы, в которых события двух различных типов взаимосвязаны и зависят от состояния управляющей марковской цепи [12, 13, 14]. Расширение классической теории марковских процессов открывает новые возможности для анализа и прогнозирования поведения сложных систем [15, 16, 17]. Особенно это актуально для систем с повторными вызовами, на вход которых поступает двумерный MMPP-поток, интенсивность которого зависит от внешней управляющей среды [18, 19, 20].
В данной дипломной работе рассматривается математическая модель одноканальной системы массового обслуживания с неограниченными орбитами, в которую поступают заявки двух типов, формируемые двумерным MMPP-потоком, управляемым цепью Маркова с непрерывным временем. Наличие повторных вызовов с экспоненциальным временем ожидания на орбитах делает задачу значительно более сложной по сравнению с классическими моделями с пуассоновским входным потоком.
Целью данной работы является построение математической модели системы случайного множественного доступа с многомодальным характером поступающих требований и построение предельных распределений вероятностей состояний исследуемой системы.
Задачи исследования:
1) Построение системы уравнений Колмогорова для четырехмерного марковского процесса, описывающего состояние исследуемой системы;
2) Вывод уравнений для характеристических функций стационарного распределения числа заявок на орбитах;
3) Применить метод асимптотического анализа в предельном условии большой задержки заявок на орбитах для построения аппроксимаций распределений вероятностей состояний исследуемой системы;
4) Численная реализация.
В данной выпускной квалификационной работе была рассмотрена математическая модель одноканальной системы массового обслуживания с неограниченными орбитами и двумя типами заявок, формируемыми двумерным маркированным марковским модулированным потоком.
Особенностью модели является наличие неограниченных орбит, на которых заявки могут находиться до момента повторной попытки обслуживания, если изначально они получили отказ. Задержки на орбитах подчиняются экспоненциальному распределению, что позволяет более точно отразить реалии функционирования систем с ограниченными ресурсами.
В процессе исследования решались следующие задачи:
1) Построение системы уравнений Колмогорова для четырехмерного марковского процесса, описывающего состояние исследуемой системы;
2) Вывод уравнений для характеристических функций стационарного распределения числа заявок на орбитах;
3) Применить метод асимптотического анализа в предельном условии большой задержки заявок на орбитах для построения аппроксимаций распределений вероятностей состояний исследуемой системы;
4) Численная реализация.
Полученные результаты показывают, что для изучения сложных моделей множественного доступа можно применять асимптотический анализ для построения аппроксимаций стационарных распределений вероятностей состояний системы. Это помогает не только качественно описать поведение исследуемой системы, но и количественно оценить влияние определяющих параметров на характеристики ее работы.
Разработанный подход может быть использован при проектировании и анализе телекоммуникационных, компьютерных и других высоконагруженных систем, где точная оценка показателей надежности и пропускной способности имеет решающее значение. Перспективными направлениями дальнейших исследований являются распространение модели на многоканальные системы с учетом приоритетов и ограниченных буферов, а также реализация модели в виде программного пакета.
