Группа кос была введена Артином в 1923 году с целью формализовать топологические объекты, моделирующие переплетение нескольких нитей в трехмерном пространстве. Он определил ее образующими и соотношениями, поставил и дал первое решение задачи равенства слов в теории кос. В последующие годы стало понятно, что косы представляют собой фундаментальный объект математики, встречаясь в теории разветвленных накрытий, маломерной топологии, теории функций.
В последние годы ученые с огромным интересом стали заниматься обобщениями классической теории кос. Одним из таких обобщений является теория виртуальных кос, введенная Л. Х. Кауффманом [4]. При этом две классические косы эквивалентны как виртуальные тогда и только тогда, когда они эквиваленты как классические. Это позволяет говорить о том, что теория виртуальных кос является обобщением классической теории кос. С появлением теории виртуальный кос стало понятно, что классические косы являются малой частью более широкого объекта, изучение свойств которого помогает лучше понять некоторые аспекты в теории классических кос.
Известно, что при изотопии кос сохраняется неизменной перестановка, соответствующая косе. Это значит, что при распознавании тривиальной косы (решении проблемы равен¬ства) мы должны отбросить косы, которым соответствует неединичная перестановка. Останутся косы, которым соответствует тривиальная перестановка. Такие косы называют крашеными. Группа виртуальных крашеных кос является ядром гомоморфизма группы виртуальных кос на симметрическую группу, при котором а» ^ р», Pi ^ Pi, i = 1,.. .,n — 1.
С теорией виртуальных кос связаны некоторые ее фактор-теории, которые получаются введением некоторых аналогов преобразований Рейдемейстера. На этом пути возникает теория плоских виртуальных кос, теория кос со спайками и ряд других.
В настоящей работе мы исследовали группу плоских виртуальных кос, а также ее под¬группу - плоских виртуальных крашеных кос. Классификация плоских виртуальных узлов позволяет распознавать и некоторые виртуальные узлы. Например, знаменитый узел Киши- но, являющийся нетривиальным, хотя получен связной суммой тривиальных узлов, остается нетривиальным и в категории плоских виртуальных узлов. Доказательство же нетривиальности плоского узла, как правило, легче доказательства нетривиальности виртуального узла.
Таким образом была исследована группа плоских виртуальных кос FVBn и методом Рейдемейстера- Шрайера найдена система порождающих длч группы FHn. Хотелось бы наметить вопросы для дальнейшего рассмотрения, а именно рассмотрение поиск аналогов теорем теории кос в трехмерном пространстве для групп кос поверхностей, а именно определение виртуальных кос поверхностей, поиск аналогов представлений групп кос, рассмотрение вопросов о точности таких представлений, рассмотрение аналога квандла группы кос поверхности.
