Аннотация
Введение 4
1. Физическая постановка задачи 8
2. Математическая постановка задачи 9
3. Дискретизация уравнений Навье-Стокса методом конечных объёмов для
области с криволинейной нижней границей 18
4. Алгоритм SIMPLE 24
5. Итерационный метод для решения разностного уравнения для поправки
давления 26
6. Результаты расчётов 29
Заключение 35
Литература
Задача о течении жидкости в каверне с подвижной верхней крышкой является критерием оценки качества метода, применяемого для решения системы уравнений Навье-Стокса , названных в честь французского механика и инженера Клода Луи Мари Анри Навье (1785-1836) и английского математика, механика и физика-теоретика ирландского происхождения сэра Джорджа Габриэля Стокса (1819-1903).
Клод Навье в 1802 году поступил в политехническую школу Ecole polytechnique, а в 1804 году продолжил обучение в Национальной школе мостов и дорог, которую он успешно закончил в 1806 году. В итоге Клод Луи стал главным инспектором в Корпусе дорог и мостов. Ему принадлежит первый проект моста для инвалидов, а также он построил пешеходный мост на острове Сите в Париже.
В 1824 году Навье приняли во Французскую Академию наук. А в 1830 году он встал на должность профессора в Национальной школе мостов и дорог, а 1831 году перешёл на должность профессора математики и механики.
Клод Луи сформулировал в математическом виде теорию упругости в 1821 году, в 1819 году он поправил результаты Галилея, определив нулевой уровень механического напряжения, а в 1826 году Клод Навье ввёл модули упругости как независимую от второго момента площади характеристику материалов, также он считается одним из основателей современной теории упругости.
Одним из наиболее известных вкладов в науку Клода Луи является вывод уравнений Навье-Стокса, являющихся одними из важнейших в гидродинамике и применяемых в математическом моделировании многих технических задач и природных явлений.
Сэр Джордж Габриэль Стокс в 1841 году окончил Кембриджский университет, где с 1849 года работал профессором математики .
Джодж Габриэль одновременно со Ф.Л. Зейделем ввели в 1848 году понятие равномерной сходимости последовательности и ряда , в 1845 году в работе «О теории внутреннего трения в движущихся жидкостях и о равновесии и движении упругих твёрдых тел» вывел дифференциальные уравнения, которые описывают течение вязких жидкостей, названных уравнениями Навье-Стокса. Именно сэру Джорджу Стоксу принадлежит последовательно исходящий из континуальной концепции вариант вывода этих уравнений .
Джордж Габриэль теоретически объяснил формулу Гагена-Пуазейля для расхода вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе при стационарном течении .
В 1848 году сэр Стокс получил дифференциальные уравнения, которые описывают закон вихря с течением времени .
Из-за возникающих вихревых движений, течение жидкости в каверне имеет сложную геометрическую структуру. Поэтому при решении данной системы недостаточно использовать один только аналитический, численный или экспериментальный способ решения. Необходимо использовать эти методы совместно друг с другом.
В двумерном случае лидирует численный метод решения, поскольку в силу простоты расчётной области появляется возможность более тонко отслеживать некоторые характеристики течения по сравнению с экспериментальными методами.
В трёхмерном случае значительно повышается объём вычислений и, в связи с этим, даже при современных ЭВМ вычисления могут занимать до нескольких сотен часов. В данной задаче необходимо правильно построить алгоритм расчёта для того, чтобы в дальнейшем можно было использовать многопроцессорную машину для получения решения.
...
В данной работе была рассмотрена двумерная стационарная задача о ламинарном течении в каверне с криволинейной нижней границей, описываемая системой уравнений Навье-Стокса, состоящей из двух уравнений движения и уравнения неразрывности.
Было выполнено преобразование координат для перехода от задачи в каверне с криволинейной нижней границей к задаче с прямолинейной. После преобразования координат уравнения дискретизировались при помощи метода конечных объёмов и преобразовывались при помощи противопотоковой схемы. Далее задача решалась методом SIMPLE с использованием метода Булеева для поправки давления.
В качестве результатов работы были построены поля скоростей, отражающие поведение вихревых течений жидкости, для каверн с различными криволинейными нижними границами.
