Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Математическая модель страховой компании 7
1.1 Уравнение для вероятности разорения 8
1.2 «Простая» оценка вероятности разорения страховой компании 9
2 Вывод формул для нахождения моментов процесса риска 12
2.1 Определение моментов аппроксимирующего процесса 20
2.2 Нахождение параметров аппроксимирующего процесса 30
3 Имитационное моделирование 35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
ПРИЛОЖЕНИЕ А 41
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 42
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 43
Страховой бизнес предполагает систематический и всесторонний анализ принимаемых на страхование рисков. Только грамотное примененине специальных средств и инструментов анализа рисков позволяет гарантировать клиенту защиту и выживать в условиях конкуренции.
Страховой рынок, по данным ЦБ РФ, демонстрирует увеличение конкуренции среди страховых компаний.
Резкое возрастание количества ликвидированных страховых организаций на начало 2019 года, которое проиллюстрировано на рисунке 1,
Отсюда можно сделать предположение, что помимо внутренней
конкуренции выживание компаний сильно зависит от общеэкономического равновесия. Для укрепления на рынке страховым организациам проще всего регулировать свою деятельность. Главным средством конкурентной борьбы является корректное определение риска функционирования страховой компании. В качестве меры риска в страховании зачастую используется вероятность разорения компании. Таким образом, задача оценки риска функционирования компании страховой компании является актуальной.
Современная актуарная математика основывается на работах Ф.Лундберга и Х.Крамера. Ими была предложена и исследована классическая модель процесса страхования [13,1]. Благодаря ее относительной простоте предложенная модель, позволяет вычислить в явном виде вероятности разорения и выживания страховой компании, выработать рекомендации по определению необходимого начального капитала и назначению страховых премий. В то же время классическая модель не отражает многие черты деятельности страховых компаний в реальной жизни. Развитию и уточнению классической модели посвящено большое количество работ по математической теории страхования.
Обощение классической модели страхования осуществляется за счет отказа от некоторых ограничений, связанных с характером потоков поступающих страховых взносов и страховых выплат.
Наиболее близкой к проблемам, рассматриваемым в дальнейшем в работе, является модель изменения капитала страховой компании, в которой интенсивности потоков страховых премий и страховых выплат могут меняться в случайные моменты времени за счет изменения, например, внешних условий. Адекватной моделью потоков страховых премий и выплат при этом являются дважды стохастические пуассоновские потоки.
Впервые такая модель была рассмотрена в работе J.M. Reinhard [2], в которой были получены уравнения для вероятностей разорения. Случай, когда моделью страховых выплат является дважды стохастический пуассоновский поток или иначе MMP - поток рассматривался в работах [9], [11]. В работах О.С. Жилиной [6], К.И.Лившица [7], А.В. Бойкова [5], Я.С.Бублик рассматривается ситуация, когда страховые премии и страховые выплаты образуют два независящих друг от друга пуассоновских потока .
Целью работы является построение и исследование оценки вероятности разорения для математической модели страховой компании в случае дважды стохастических потоков страховых выплат. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:
• построена математическая модель на случай дважды стохастических потоков страховых выплат,
• разработан алгоритм численного нахождения вероятностей разорения,
• получена оценка вероятности разорения стаховой компании ,
• при помощи алгоритма имитационного моделирования проверена точность построенной оценки вероятности разорения.
Краткое содержание работы
В первой главе определяются основные предположения построения математической модели страховой компании на случай двух состояний потока страховых выплат. В точности, поток платежей компании определяется дважды стохастическим пуассоновским потоком, интенсивность которого X является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и двумя состояниями. Страховые выплаты являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Страховые премии поступают непрерывно во времени с постоянной скоростью с.
Во второй главе ставится задача определения параметров
аппроксимируемого и аппроксимирующего процессов. Решение задачи исхоит от идеи подобра параметров аппроксимирующего процесса таким образом, чтобы некоторое количество начальных моментов у истинного и аппроксимирующего процессов риска совпадали.
Заключительная глава посвящена описанию алгоритма численного нахождения вероятности разорения и имитационному моделированию, а также демонстрации корректности выведенных во второй главе формул.
Используемые методы
Большая часть проведенных исследований носит теоретический характер и проводилась с использованием теории вероятностей, теории случайных процессов, теории интегральных и дифференциальных уравнений. Для подтверждения корректности применения выбранного математического аппарата использовались методы имитационного моделирования.
Теоретическая и практическая значимость исследования
Построенная математическая модель дает возможность вычислить вероятность разорения страховой компании на случай двух состояний потока страховых платежей.
Разработанный комплекс программ позволяет определять вероятность разорения страховой компании для рассмотренной модели, а также осуществлять имитационное моделирование для построения оценки разорения.
Существенной особенностью классической модели коллективного риска является предположение о том, что размер выплат это поток с неизменной интенсивностью. В действительности страховой риск не всегда остается постоянным, то есть во время действия страхового контракта могут произойти некие события, которые повлияют на увеличение вероятности наступления страхового случая. В настоящей работе была исследована математическая модель страховой компании в случае, когда поступление страховых премий в компанию детерминировано, а страховые выплаты образуют дважды стохастический пуассоновский поток. Результаты, полученные в работе, позволяют строить оценку вероятности разорения страховой компании при условиях более приближенных к реальности.
