Тема: Метод бисопряженных градиентов BiCGStab для решения систем линейных уравнений на многоядерных компьютерах с общей памятью

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) - это одна из классических задач линейной алгебры, которая часто встречается в разных разделах математики.
Изучение различных природных явлений всегда было и остаётся одним из актуальных направлений в науке. Многие физические явления в природе описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Зачастую аналитически решить данные уравнения либо весьма затруднительно, либо вовсе не удаётся. В таких случаях данные задачи решают приближённо при помощи численных методов. Суть большинства таких методов в том, что непрерывная область аргумента исследуемых функций заменяется дискретной, затем строится разностная схема, и в итоге задача сводится к решению СЛАУ.
Характерной особенностью таких задач является их большая размерность, в следствии чего их решают при помощи программирования на электронно-вычислительных машинах (ЭВМ). Некоторые подзадачи в программах могут выполняться параллельно, что позволяет ускорить поиск их решения. Данный факт наводит на использование в задачах решения СЛАУ методов параллельного программирования.
Также, ещё одним способом ускорения процесса поиска решения СЛАУ является процесс преобразования условий задачи, называемый предобуславливанием. На сегодняшний день данной теме посвящено много исследований, и ни одна серьёзная задача не обходится без применения эффективного метода предобуславливания.
Данная работа посвящена исследованию и разработке эффективных численных методов решения СЛАУ больших размерностей, а также их параллельным программным реализациям.
Купить

В данной работе был приведен краткий обзор теории и методов решения систем линейных уравнений, был приведён пример дискретизации уравнений в частных производных методом конечных разностей, как источника возникновения матричных задач. Также, был описан процесс предобуславливания.
В результате проведённых в данной работе вычислительных экспериментов можно сделать вывод, что с помощью метода CG решение СЛАУ с симметричной матрицей коэффициентов можно получить быстрее, чем с помощью метода BiCGStab. Объясняется это тем, что в методе CG используется меньше операций, чем в методе BiCGStab. Однако для СЛАУ с несимметричной матрицей коэффициентов необходимо использовать метод BiCGStab, т.к. данный тип СЛАУ не удовлетворяет условиям сходимости метода CG.
С помощью предобуславливания методом Якоби удалось уменьшить число итераций, но время выполнения программы возросло, поскольку в алгоритм метода с предобуславливанием были добавлены вычислительные операции.
С помощью применения параллельных технологий программирования удалось ускорить решение задачи как с использованием метода CG, так и с использованием метода BiCGStab.
В случае использования OpenMP видно, что с ростом количества параллельных процессов уменьшается эффективность использования параллельной программой ресурсов вычислительной системы.
С помощью использования технологии OpenACC удалось добиться наилучших из всех приведённых в данной работе результатов, в следствии чего можно сделать вывод, что графические процессоры и данная технология подходят для параллельных вычислений лучше, чем центральные процессоры и технология OpenMP, однако стоит отметить, что данная технология сложнее в освоении, нежели OpenMP.
Купить