Введение 3
1 Построение разностной схемы 4
2 Исследование разностной схемы 10
2.1 Аппроксимация 12
2.2 Устойчивость 15
2.3 Монотонность 19
3 Метод прогонки 24
4 Результаты расчетов 28
4.1 Полуограниченное тело с граничным условием третьего рода 28
4.2 Краевая задача с граничными условиями первого рода 30
4.3 Смешанная краевая задача 34
Заключение 39
Список использованной литературы
В настоящее время для изучения физических процессов получили большое распространение методы математического моделирования. Это обусловлено тем, что исследование свойств изучаемого объекта или явления можно описать математическими формулами, не прибегая к дорогостоящим экспериментам.
В простейших случаях для краевых задач конвективно-диффузионного переноса можно получить аналитическое решение. Однако, как правило, из-за математической сложности модели найти точное решение не удается, поэтому широкое распространение получили приближенные численные методы.
В свою очередь, каждый численный метод (разностная схема) должен удовлетворять условиям аппроксимации, устойчивости и сходимости, а также быть монотонным, т.е. сохранять монотонность распределения решения, соответствующего монотонным начальным данным.
Существует множество известных разностных схем для решения уравнения конвекции - диффузии [1 - 3]. В работе [4] приведен сравнительный анализ некоторых схем, их достоинства и недостатки, наличие которых обуславливает продолжение исследований и поиска новых методов решения.
В данной работе рассматривается численное решение одномерной задачи конвекции-диффузии, полученное с помощью неявной разностной схемы «Ромб» [5]. Построенная схема имеет ряд достоинств. Так, с её помощью появляется возможность одновременного нахождения функции температуры и теплового потока. Кроме того, уравнение аппроксимируется в пределах одной ячейки, что упрощает использование схемы для тела, состоящего из материалов с различными теплофизическими характеристиками.
Цель работы - построение и исследование разностной схемы на монотонность, аппроксимацию и устойчивость, получение численных результатов исследований. В процессе работы были изучены уравнения конвекции-диффузии, а также некоторые их известные аналитические решения.
Построена неявная разностная схема «Ромб» для одномерной задачи конвекции-диффузии. Схема исследована на монотонность, аппроксимацию и устойчивость в зоне гладких решений (при ш = 1) и в зоне больших градиентов (с параметром ш = 1).
Для проведения расчетов тестовых задач были написаны программы на языке C++. Численный эксперимент показал, что решения краевых задач для уравнения конвекции-диффузии, полученные с помощью построенного метода, хорошо согласуются с аналитическими решениями.
