Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Методы решения уравнения Кеплера 4
1.1 Метод Ньютона 4
1.2 Метод Денби 5
1.3 Метод бисекции 5
1.4 Метод Мюллера 6
1.5 Метод простых итераций 6
1.6 Оценка эффективности методов на примере ИСЗ 7
1.6.1 Результаты тестирования численных методов на примере спутника GPS 7
1.6.2 Исследование скорости сходимости итерационных методов для орбит с
различными значениями эксцентриситета 9
2 Алгоритм задачи двух тел 11
3 Алгоритм перехода от декартовых координат и скоростей к кеплеровым
элементам орбиты 13
4 Учебный программный комплекс «Основы небесной механики» 15
4.1 Введение 15
4.2 Интерфейс программного комплекса 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 22
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23
Целью данной работы является разработка учебного программного комплекса «Основы небесной механики», предназначенного для проверки пользовательских данных, связанных с движением астероидов и искусственных спутников Земли, в рамках классической задачи небесной механики — задачи двух тел.
В рамках комплекса реализована возможность выбора численного метода решения уравнения Кеплера, что позволяет учитывать особенности сходимости различных алгоритмов в зависимости от эксцентриситета орбиты и тем самым повышает точность и эффективность анализа.
Одной из ключевых особенностей разработанного комплекса является возможность визуализации траектории движения небесного тела, как в двумерной, так и в трёхмерной проекциях. Кроме того, в состав комплекса включены теоретические материалы, позволяющие пользователю освоить основные положения и методы, необходимые для решения задачи двух тел.
В ходе выполнения данной работы были реализованы и протестированы пять численных методов решения уравнения Кеплера: метод Ньютона, метод Денби, метод бисекции, метод Мюллера и метод простых итераций. Тестирование проводилось на примере классической задачи небесной механики — задачи двух тел. Проведённый сравнительный анализ позволил выявить особенности каждого метода и определить области их наилучшего применения в зависимости от эксцентриситета орбиты. Наивысшую скорость сходимости продемонстрировали методы Ньютона, Денби и Мюллера. Метод простых итераций показал высокую чувствительность к росту эксцентриситета, в то время как метод бисекции обеспечивал устойчивую, но сравнительно медленную сходимость.
Полученные результаты легли в основу разработки учебного программного комплекса «Основы небесной механики». Комплекс предоставляет возможность сравнения координат и скоростей, полученных по заданным кеплеровым элементам, с пользовательскими данными, а также выполнения обратной проверки — сопоставления орбитальных элементов, рассчитанных по координатам и скоростям, с введёнными пользователем значениями. Функциональность охватывает как объекты типа астероидов, так и искусственные спутники Земли.
Для повышения наглядности в программный комплекс были интегрированы средства визуализации орбитального движения небесных тел в двумерной и трёхмерной проекциях.
Кроме того, в состав комплекса включены теоретические материалы, охватывающие ключевые аспекты небесной механики. Это делает разработанный программный продукт не только эффективным вычислительным инструментом, но и полноценным учебным пособием.
