1 Введение 3
2 Геометрия предсимплектических многообразий 4
3 Предсимплектические структуры в теории поля 7
4 Общее определение предсимплектической структуры в нелагранжевой
теории поля 12
4.1 Предсимплектическая структура в не лагранжевых теориях 12
4.2 Слабые лагранжианы 14
4.3 Киральные бозоны 16
4.4 Электродинамика Подольского 21
5 Заключение 23
Список использованной литературы 24
В работе рассматривается возникновение предсимплектических структур в различных моделях теории поля. Введение таких структур является ключевым для процедуры ковариантного квантования теоретико-полевых моделей. В качестве основного метода рассматривается подход деформационного квантования, основанный на задании структуры ассоциативной (некоммутативной) алгебры в пространстве физических наблюдаемых.
Под квантованием обычно понимается построение квантовой системы по некоторой классической системе. Для общих механических систем, фазовое пространство которых является произвольным симплектическим многообразием, существует наиболее простой и естественный метод квантования - деформационное квантование. В таком подходе алгебра квантовых наблюдаемых определяется как формальная деформация коммутативной алгебры функций на исходном многообразии с параметром деформации, удовлетворяющая только принципу соответствия квантовой механики. Эта процедура была разработана Б. В. Федосовым в работах [2,3] и носит название схемы деформационного квантования Федосова симплекти- ческих многообразий.
Как известно, в теории поля пространство решений уравнений Лагранжа снабжается естественной предсимплектической структурой, наделяющей пространство калибровочно-инвариантных функционалов полей структурой пуассоновой алгебры [4]. В п-мерном пространстве-времени с координатами при вариации действия вида
5[Ф]= [ £(&,д^(Гх
Jv обычно возникает граничный член, который можно понимать как функциональную 1-форму. Его вариационный дифференциал тогда будет ^-замкнутой (точной) 2-формой, которая при ограничении на пространство решений уравнений движения наделяет последнее канонической предсимплектической структурой вида
г / яг
Q = / 5 А <5Ф* A сГ^х..
Подобную предсимплектическую структуру можно определить и в случае нелагранжевых моделей теории поля. Ниже, например, будут рассмотрены модели киральных бозонов в различной размерности пространства времени.
Прежде всего, мы ознакомились с понятием предсимплектической геометрии, которая является сужением симплектической геометрии в случае постоянной размерности ядра два-формы. Также мы подробно рассмотрели, как предсимплектическая структура наделяет многообразие структурой пуассоновой алгебры и дали определение наблюдаемой на предсимплектическом многообразии.
Для рассмотрения приложений к физическим задачам был выбран формализм теории поля, в котором предсимплектические структуры в лагранжевых теориях возникают естественным образом. Помимо общего алгоритма выделения предсим- плектических форм из лагранжиана теории, мы рассмотрели набор классических примеров, а именно моделей скалярного, векторного, майорановского и гравитационного полей.
Далее, мы решили перейти к рассмотрению нелагранжевых теорий. Если в лагранжевом случае мы могли получить предсимплектическую структуру из лагранжиана, то в нелагранжевой теории это не представляется возможным. Мы сформулировали общие правила её получения из нелагранжевых уравнений движения, а также рассмотрели особый механизм получения слабых лагранжианов из предсимплектической формы. Таким образом, мы получили универсальный метод получения лагранжианов в слабом смысле для нелагранжевых теорий. Мы закрепили этот раздел рассмотрением примера киральных бозонов.
Киральные бозоны реализуются на самодуальных тензорных полях и представляют интерес в физике высоких энергий, однако их уравнения движения не являются лагранжевыми. Для этого мы изучили некоторые элементы теории Ходжа (действие оператора Ходжа, скалярное произведение Ходжа и т.д.), необходимые для построения данной теории. Мы рассмотрели самодуальные поля в различных размерностях пространства-времени, полагаясь на уравнения (анти- )самодуальности, и выделили для них предсимплектические структуры. Также выявили ограничение на размерности пространственно-временного многообразия, в которых предсимплектическая структура тривиальна.
Также возникло желание рассмотреть случай, когда модель является нелинейной и нелагранжевой. В качестве такого примера мы рассмотрели скалярную электродинамику Подольского, получив для неё предсимплетическую структуру.
