Введение 2
1. Гармонический анализ на группах Ли7
1.1. Классы орбит 7
1.2. Канонический переход и А-представление 10
1.3. Поднятие A-представления и полные ортонормированные наборы
функций. Условие целочисленности орбит. Производящая функция 13
1.4. Некоммутативная редукция уравнений на группах Ли 17
2. Термодинамика однородных пространств 19
2.1. Постановка задачи 19
2.2. Термодинамика на некомпактных группах Ли 20
3. Группа Гейзенберга-Вейля 23
3.1. Группа Гейзенберга-Вейля (n=1) 23
3.2. Группа Гейзенберга-Вейля (случай произвольной размерности) 28
3.3. Термодинамика на группе Гейзенберга-Вейля 32
Заключение 41
Список использованной литературы 42
Как известно, линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) являются важнейшим методом описания физической реальности. Следовательно, решение таких уравнений является одной из важнейших задач математической физики. Однако, в общем случае построение точных решений является невыполнимой задачей. Конечно, существуют методы построения приближенных решений, но точные решения всегда представляют больший интерес для физических предсказаний. В связи с этим, построение методов точного интегрирования дифференциальных уравнений является актуальной задачей.
В данной работе рассматривается метод некоммутативного интегрирования на примере систем с группами симметрий Гейзенберга-Вейля и его применение для построения термодинамики на группе Гейзенберга-Вейля произвольной размерности.
Метод некоммутативного интегрирования дает возможность расширить класс интегрируемых систем, а именно, позволяет провести редукцию ЛДУ к уравнению с меньшим числом переменных, если оно обладает некоммутативной алгеброй Ли операторов симметрии. С помощью данного подхода могут быть решены уравнения, не допускающие разделения переменных.
Метод некоммутативного интегрирования ЛДУ был построен в работе , и в некотором смысле эквивалентен методу, который предложен А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в работе . Развитие метода некоммутативного интегрирования ЛДУ приводит к методу орбит А. А. Кириллова. Несмотря на то, что теория метода некоммутативного интегрирования следует идеям А. А. Кириллова, на прямую данный метод и метод орбит не связаны. Действительно, в то время как метод орбит позволяет строить неприводимое представление группы Ли, метод некоммутативного интегрирования основан на построении неприводимых представлений алгебры Ли. Кроме того, целью метода некоммутативного интегрирования является не построение представлений, а интегрирование уравнений. Метод орбит своей целью имеет построение неприводимых представлений. Однако, построенные в этих методах представление группы и алгебры связаны. Поэтому связь данных методов является важной задачей. В дальнейшем метод некоммутативного интегрирования был структурирован в работе , где описаны его достоинства, недостатки и дальнейшие направления исследований.
...
В заключении отметим результаты, полученные в данной дипломной работе:
1. Рассмотрен метод некоммутативного интегрирования на группе Гейзенберга-Вейля и получен способ решения линейных дифференциальных уравнений с данной группой симметрии, что позволяет интегрировать в квадратурах определенные типы дифференциальных уравнений. А именно, нами было получено обобщенное преобразование Фурье, которое связывает действие (лево-)правоинвариантных полей на функциях, определенных на группе Ли, с действием операторов А- представления алгебры Ли на функциях, определенных на орбитах ко- присоединенного представления. Именно это преобразование позволяет редуцировать уравнения;
2. Решена задача термодинамики на группе Гейзенберга-Вейля, имеющая самостоятельный интерес, и проанализированы полученные результаты. В частности, получено, что качественное поведение кинетической энергии на одну частицу и удельной теплоемкости не зависят от размерности группы Гейзенберга-Вейля. Кроме того, сделан вывод о поведении статистической суммы - с ростом размерности группы Гейзенберга- Вейля статистическая сумма спадает быстрее с ростом
