Аннотация 2
Введение 5
1 Исследование точечной математической модели задачи типа «хищник-жертва» с различными трофическими функциями 9
1.1 Исследование устойчивости по Ляпунову системы ОДУ с учетом трофических функций Лотки-Вольтерра, Холлинга и Ардити-Гинзбурга-Контуа 10
1.2 Выбор численного метода 18
1.3 Анализ результатов численных расчетов задачи типа «хищник-жертва» 19
2 Численное исследование модели взаимодействия двух видов популяций с различными трофическими функциями в одномерном приближении 29
2.1 Выбор метода решения краевой задачи 30
2.2 Исследование вопросов аппроксимации, устойчивости и сходимости явной разностной схемы 32
2.3 Анализ результатов численных расчетов одномерной математической модели с различными трофическими функциями 34
Приложение А 57
Приложение Б 58
Приложение В 63
Теоретические основы современной математической экологии заложены около ста лет назад Альфредом Лоткой и Вито Вольтерра. Использование систем дифференциальных уравнений для описания динамики популяций началось с построения и изучения простых математических моделей трофической системы «хищник-жертва» [1].
Известный специалист в области питания животных Виктор Сергеевич Ивлев (1955) [1] с помощью анализа и обобщения экспериментальных
данных, полученных в условиях лабораторного эксперимента с различными видами рыб, построил и обосновал теоретические модели, основанные на зависимости потребляемого рациона пищи в единицу времени от следующих факторов:
1) характера распределения пищи;
2) плотности и степени концентрации пищи;
3) структуры и численности популяции питающихся животных.
Два первых фактора принадлежат к числу характеристик количества и распределения кормовых ресурсов для жертв, третий фактор характеризует отношение конкуренции питающихся хищников, в последствии эту характеристику стали называть «взаимной интерференцией» [1].
Важной составляющей математической модели типа
«хищник-жертва» является трофическая функция. В научной литературе нередко упоминается другое ее название - «функциональный отклик». Трофическая функция описывает характеристические особенности математических моделей «хищник-жертва».
Проблеме адекватности выбора трофической функции посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. К этому направлению исследований значительный интерес стимулировался оживленной дискуссией в научной литературе после публикации статьи в 1989г. Р Ардити и Л.Р. Гинзбурга[3], где авторы предложили вместо общепринятых, классических трофических функций, аргументом которых служит плотность популяции жертв т, д(и), использовать трофическую функцию, аргументом которой является отношение численностей популяций жертв и хищников w, д(и / w).
В данной работе рассматриваются математические модели с классическими и популярными трофическими функциями, аргументами которых выступают:
1) плотность популяции жертв д(ц);
2) плотность популяций жертв и хищников g(v, w);
3) отношение популяции жертв и хищников g(v / w).
В качестве модели, использующей трофическую функцию типа 1) служит модель Лотки - Вольтерра, в которой она имеет вид:
g(v) = av; (1)
где параметр а - эффективность обнаружения жертвы хищником, а v - плотность популяции жертв.
Данная функция ведет себя тривиально: она растет пропорционально числу жертв, не зависимо от количества хищников.
Модель, которая включает трофическую функцию, предложенную Холлингом в 1959 году, имеет тот же тип 1), и часто упоминается как «дисковое уравнение»:
д(*)=т^ (2)
1типР
где Н - параметр, описывающий скорость насыщения хищников при увеличении количества популяции жертв. Функция Холлинга показывает, что скорость поедания жертв хищниками растет с увеличением плотности
популяции жертв до определённого уровня. После насыщения, хищники прекращают погоню за жертвами.
Модель с трофической функцией Ардити-Гинзбурга-Контуа, представленная в статье в 1989 году [3] в виде:
Функциональный отклик Ардити-Гинзбурга-Контуа учитывает конкуренцию хищников, т.е. площадь, которую исследует хищник в поисках жертв, обратно пропорциональна плотности популяции хищников а / w. Здесь уместен термин «взаимной интерференции хищников».
Модель, содержащая функцию Базыкина-Кроули-Мартина,
представленная в 1993 году [1], имеет следующий вид:
х х av 1 ,..
w) = ■ 7+W? (4)
В представленной трофической функции «взаимная интерференция» выражена через параметр fl, то есть конкуренция хищников регулируется мультипликативным способом.
В данной выпускной квалификационной работе в главе 1 представлены точечные математические модели типа «хищник-жертва», включающие различные трофические функции о которых говорилось ранее. С помощью явного численного метода Эйлера осуществляется реализация трофических систем. Изучаются проблемы аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы, исследуется динамика плотности популяций жертв и хищников во времени.
В главе 2 вопросы исследования модели типа «хищник-жертва» в одномерном приближении рассматриваются аналогично. Для реализации одномерной модели используется метод конечных разностей для ДУЧП [2].
Рассматриваются аналогичные вопросы, касающиеся оценки ошибки аппроксимации, устойчивости и сходимости.
Численные результаты представлены в виде графиков, и выполнен анализ полученных данных.
Цель работы - Провести сравнительный анализ классических и популярных трофических функций (1.1-1.4) в точечной и одномерной моделях «хищник-жертва» и их влияние на динамику численности популяций хищников и жертв.
В данной выпускной квалификационной работе были исследованы математические модели, описывающие процесс взаимодействия типа "хищник-жертва" в точечном и одномерном приближении с использованием различных трофических функций. Точечная модель была реализована с использованием явного метода Эйлера. Анализ устойчивости по Ляпунову показал, что использование различных трофических функций значительно влияет на динамику и устойчивость популяций. Одномерная математическая модель была решена с помощью явного разностного метода. Исследованы вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной. Для численной реализации точечной и одномерной модели, составлены программы на языке высокого уровня Python. Полученные результаты, представлены в виде графиков, построенных в Python. Графики, наглядно демонстрируют влияние различных параметров и трофических функций на поведение популяций хищников и жертв.
Данная работа позволяет сделать выводы о важности выбора адекватных трофических функций при моделировании экосистем. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований в области математической экологии и для разработки моделей более точно описывающих реальные природные явления.
