ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЯМОГО МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОСТОЯННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ТРЕУГОЛЬНЫХ ЯЧЕЕК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В КАВЕРНЕ С ДВИЖУЩЕЙСЯ ВЕРХНЕЙ КРЫШКОЙ
|
ВВЕДЕНИЕ 5
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 8
2 МЕТОД РЕШЕНИЯ 13
2.1 Использование непрямого метода граничных элементов 13
2.2 Триангуляция области решения с помощью DistMesh2D 19
2.3 Численное интегрирование функции двух переменных по треугольнику на плоскости 24
2.3.1 Пример интегрирования заданной функции двух переменных по треугольной области 28
2.3.2 Пример интегрирования заданной функции двух переменных по расчетной области с использованием процедуры интегрирования по треугольнику 29
3 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ 32
4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКЕ 35
5 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЯ СТЕПЕННОЙ ЖИДКОСТИ В КВАДРАТНОЙ КАВЕРНЕ 40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 49
ПРИЛОЖЕНИЕ А Листинг процедуры интегрирования по треугольнику с использованием 7-точечной формулы Гаусса 51
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Листинг процедуры расчета внутренних источников 53
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 8
2 МЕТОД РЕШЕНИЯ 13
2.1 Использование непрямого метода граничных элементов 13
2.2 Триангуляция области решения с помощью DistMesh2D 19
2.3 Численное интегрирование функции двух переменных по треугольнику на плоскости 24
2.3.1 Пример интегрирования заданной функции двух переменных по треугольной области 28
2.3.2 Пример интегрирования заданной функции двух переменных по расчетной области с использованием процедуры интегрирования по треугольнику 29
3 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ 32
4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКЕ 35
5 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЯ СТЕПЕННОЙ ЖИДКОСТИ В КВАДРАТНОЙ КАВЕРНЕ 40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 49
ПРИЛОЖЕНИЕ А Листинг процедуры интегрирования по треугольнику с использованием 7-точечной формулы Гаусса 51
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Листинг процедуры расчета внутренних источников 53
Работа посвящена применению непрямого метода граничных элементов с использованием постоянных элементов и треугольных ячеек для решения задачи о течении неньютоновской жидкости в каверне с движущейся верхней крышкой.
Неньютоновская жидкость - жидкость, при течении которой ее вязкость зависит от градиента скорости. Она неоднородна и состоит из крупных молекул, образующих сложные пространственные структуры. Неньютоновские жидкости не поддаются законам обычных жидкостей, эти жидкости меняют свою плотность и вязкость при воздействии на них физической силой, причем не только механическим воздействием, но даже звуковыми волнами и электромагнитными полями. Если воздействовать механически на обычную жидкость, то, чем больше будет воздействие на нее, тем больше будет сдвиг между плоскостями жидкости, иными словами, чем сильнее воздействовать на жидкость, тем быстрее она будет течь и менять свою форму. Если воздействовать на неньютоновскую жидкость механическими усилиями, мы получим совершенно другой эффект, жидкость начнет принимать свойства твердых тел и вести себя как твердое тело, связь между молекулами жидкости будет усиливаться с увеличением силы воздействия на нее, вследствие мы столкнемся с физическим затруднением сдвинуть слои таких жидкостей. Вязкость неньютоновских жидкостей возрастает при уменьшении скорости тока жидкости [1].
Целью настоящей работы является получение решения на базе дискретизации области треугольными ячейками. Отработка алгоритма решения на базе триангуляции существенно расширит возможности использования МГЭ для задач динамики неньютоновских сред со сложной геометрией области.
Метод граничных элементов (МГЭ) очень хорошо известен среди ученых и инженеров. Данный метод доказывает свое преимущество перед другими численными методами главным образом в случае его использования для решения подходящей задачи.
Результатом появления МГЭ стало создание быстродействующих ЭВМ. МГЭ - метод решения краевой задачи, в котором благодаря использованию формул Грина, она сводится к интегральному уравнению на границе расчетной области [2]. Все МГЭ делятся на три категории, которые тесно связаны между собой.
- прямой вариант МГЭ - искомые функции, входящие в интегральные уравнения, являются реальными, имеющими физический смысл переменными задачи.
- полупрямой вариант МГЭ - составляются интегральные уравнения для неизвестных функций, аналогичных функциям напряжений.
- непрямой вариант МГЭ - интегральные уравнения полностью выражаются через фундаментальное сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений, распределенных с неизвестной плотностью по границам рассматриваемой области.
Сами по себе функции плотности не имеют определенного физического смысла, но, когда они найдены (численным решением интегральных уравнений), значения параметров решения везде внутри тела могут быть получены из них простым интегрированием. В поставленной задаче будем использовать непрямой вариант МГЭ.
Данные методы применимы к любой задаче, для которой дифференциальное уравнение или линейно, или линейно относительно приращений [3]. МГЭ, как любой другой численный метод, имеет свои преимущества и недостатки. Преимущества метода граничных элементов следующие:
1. Только граница области решения нуждается в дискретизации, что приводит к упрощению подготовки данных и уменьшению потребности в компьютерных вычислениях;
2. Более точное представление бесконечных и полубесконечных областей;
3. Неизвестные внутри области вычисляются на стадии последующей обработки (на стадии постпроцессинга), что упрощает применение любых процедур оптимизации;
4. Точные результаты в случае концентрации напряжений из-за ударов или концентрированных нагрузок.
С другой стороны, недостатки МГЭ следующие:
1. Матрицы систем не симметричны и полностью заполненные;
2 .Фундаментальные решения не всегда легко получить;
3. Сложность в отношении тонких конструкций;
4. Необходимость дискретизации области в случае нелинейных задач.
В случае решения нелинейных задач МГЭ также применим, однако в этом случае требуется расчет функций не только на границе, но и внутри области решения. Классический подход предполагает интегрирование по области [4]. С этой целью область решения должна быть представлена дискретно. В случае с криволинейной границей оптимальным методом дискретизации области является ее триангуляция.
Триангуляцией называется планарный граф, все внутренние области которого являются треугольниками [5]. Планарный граф - граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. Соответствующие элементы триангуляции обычно называют узлами, ребрами и треугольниками. Достаточно часто узлы называют точками или вершинами, ребра - дугами, а треугольники - гранями [6].
Простыми словами, триангуляция - это процесс построения сетки из треугольников. Сетка - это некоторое топологическое множество точек (вершин, узлов), связанных между собой ребрами - отрезками прямых (в некоторых случаях кривых) линий таким образом, что исходная область разбивается на элементы определенной формы.
Все методы триангуляции по принципу построения делят на две большие группы: итерационные и прямые.
Рассмотрим триангуляцию области ячейками Вороного.
Определение 1. Для заданной точки Pi, i = 1, ..., n, n - число узлов области, многоугольником (ячейкой) Вороного называется геометрическое место точек на плоскости, которые находятся к Pi ближе, чем к любой другой заданной точке Pj, j ^ i.
Совокупность многоугольников Вороного образует разбиение плоскости, представляющее векторную сеть.
Определение 2. Диаграммой Вороного заданного множества точек {P1, ..., Pn} называется совокупность всех многоугольников Вороного заданной системы точек.
Среди множества триангуляций особое место занимается триангуляция Делоне.
Определение 3. Говорят, что триангуляция удовлетворяет условию Делоне, если внутрь окружности, описанной вокруг любого построенного треугольника, не попадает ни одна из заданных точек триангуляции.
Определение 4. Триангуляция называется триангуляцией Делоне, если она является выпуклой и удовлетворяет условию Делоне.
В триангуляции Делоне достигается максимум минимального угла по всем треугольникам, но при этом она остается неоднозначной.
Одним из главных свойств триангуляции Делоне является ее двойственность диаграмме Вороного. А именно, соединив отрезками те исходные точки, чьи многоугольники Вороного соприкасаются хотя бы углами, можно получить триангуляцию Делоне [7].
Для триангуляции используются различные генераторы сеток. Наиболее подходящим генератором является DistMesh.
Неньютоновская жидкость - жидкость, при течении которой ее вязкость зависит от градиента скорости. Она неоднородна и состоит из крупных молекул, образующих сложные пространственные структуры. Неньютоновские жидкости не поддаются законам обычных жидкостей, эти жидкости меняют свою плотность и вязкость при воздействии на них физической силой, причем не только механическим воздействием, но даже звуковыми волнами и электромагнитными полями. Если воздействовать механически на обычную жидкость, то, чем больше будет воздействие на нее, тем больше будет сдвиг между плоскостями жидкости, иными словами, чем сильнее воздействовать на жидкость, тем быстрее она будет течь и менять свою форму. Если воздействовать на неньютоновскую жидкость механическими усилиями, мы получим совершенно другой эффект, жидкость начнет принимать свойства твердых тел и вести себя как твердое тело, связь между молекулами жидкости будет усиливаться с увеличением силы воздействия на нее, вследствие мы столкнемся с физическим затруднением сдвинуть слои таких жидкостей. Вязкость неньютоновских жидкостей возрастает при уменьшении скорости тока жидкости [1].
Целью настоящей работы является получение решения на базе дискретизации области треугольными ячейками. Отработка алгоритма решения на базе триангуляции существенно расширит возможности использования МГЭ для задач динамики неньютоновских сред со сложной геометрией области.
Метод граничных элементов (МГЭ) очень хорошо известен среди ученых и инженеров. Данный метод доказывает свое преимущество перед другими численными методами главным образом в случае его использования для решения подходящей задачи.
Результатом появления МГЭ стало создание быстродействующих ЭВМ. МГЭ - метод решения краевой задачи, в котором благодаря использованию формул Грина, она сводится к интегральному уравнению на границе расчетной области [2]. Все МГЭ делятся на три категории, которые тесно связаны между собой.
- прямой вариант МГЭ - искомые функции, входящие в интегральные уравнения, являются реальными, имеющими физический смысл переменными задачи.
- полупрямой вариант МГЭ - составляются интегральные уравнения для неизвестных функций, аналогичных функциям напряжений.
- непрямой вариант МГЭ - интегральные уравнения полностью выражаются через фундаментальное сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений, распределенных с неизвестной плотностью по границам рассматриваемой области.
Сами по себе функции плотности не имеют определенного физического смысла, но, когда они найдены (численным решением интегральных уравнений), значения параметров решения везде внутри тела могут быть получены из них простым интегрированием. В поставленной задаче будем использовать непрямой вариант МГЭ.
Данные методы применимы к любой задаче, для которой дифференциальное уравнение или линейно, или линейно относительно приращений [3]. МГЭ, как любой другой численный метод, имеет свои преимущества и недостатки. Преимущества метода граничных элементов следующие:
1. Только граница области решения нуждается в дискретизации, что приводит к упрощению подготовки данных и уменьшению потребности в компьютерных вычислениях;
2. Более точное представление бесконечных и полубесконечных областей;
3. Неизвестные внутри области вычисляются на стадии последующей обработки (на стадии постпроцессинга), что упрощает применение любых процедур оптимизации;
4. Точные результаты в случае концентрации напряжений из-за ударов или концентрированных нагрузок.
С другой стороны, недостатки МГЭ следующие:
1. Матрицы систем не симметричны и полностью заполненные;
2 .Фундаментальные решения не всегда легко получить;
3. Сложность в отношении тонких конструкций;
4. Необходимость дискретизации области в случае нелинейных задач.
В случае решения нелинейных задач МГЭ также применим, однако в этом случае требуется расчет функций не только на границе, но и внутри области решения. Классический подход предполагает интегрирование по области [4]. С этой целью область решения должна быть представлена дискретно. В случае с криволинейной границей оптимальным методом дискретизации области является ее триангуляция.
Триангуляцией называется планарный граф, все внутренние области которого являются треугольниками [5]. Планарный граф - граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. Соответствующие элементы триангуляции обычно называют узлами, ребрами и треугольниками. Достаточно часто узлы называют точками или вершинами, ребра - дугами, а треугольники - гранями [6].
Простыми словами, триангуляция - это процесс построения сетки из треугольников. Сетка - это некоторое топологическое множество точек (вершин, узлов), связанных между собой ребрами - отрезками прямых (в некоторых случаях кривых) линий таким образом, что исходная область разбивается на элементы определенной формы.
Все методы триангуляции по принципу построения делят на две большие группы: итерационные и прямые.
Рассмотрим триангуляцию области ячейками Вороного.
Определение 1. Для заданной точки Pi, i = 1, ..., n, n - число узлов области, многоугольником (ячейкой) Вороного называется геометрическое место точек на плоскости, которые находятся к Pi ближе, чем к любой другой заданной точке Pj, j ^ i.
Совокупность многоугольников Вороного образует разбиение плоскости, представляющее векторную сеть.
Определение 2. Диаграммой Вороного заданного множества точек {P1, ..., Pn} называется совокупность всех многоугольников Вороного заданной системы точек.
Среди множества триангуляций особое место занимается триангуляция Делоне.
Определение 3. Говорят, что триангуляция удовлетворяет условию Делоне, если внутрь окружности, описанной вокруг любого построенного треугольника, не попадает ни одна из заданных точек триангуляции.
Определение 4. Триангуляция называется триангуляцией Делоне, если она является выпуклой и удовлетворяет условию Делоне.
В триангуляции Делоне достигается максимум минимального угла по всем треугольникам, но при этом она остается неоднозначной.
Одним из главных свойств триангуляции Делоне является ее двойственность диаграмме Вороного. А именно, соединив отрезками те исходные точки, чьи многоугольники Вороного соприкасаются хотя бы углами, можно получить триангуляцию Делоне [7].
Для триангуляции используются различные генераторы сеток. Наиболее подходящим генератором является DistMesh.
В настоящей работе были рассмотрены вопросы, связанные с применением непрямого метода граничных элементов с использованием постоянных элементов и треугольных ячеек для решения задачи о течении неньютоновской жидкости в каверне с движущейся верхней крышкой.
Изучена теория неньютоновской жидкости, методов граничных элементов и триангуляции области.
Приведены основные дифференциальные и интегральные уравнения с граничными условиями для задачи о течении неньютоновской жидкости в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой.
Описан метод решения данной задачи, основанный на положениях непрямого метода граничных элементов. Осуществлена триангуляция области с помощью генератора DistMesh2D. Подробно рассмотрено численное интегрирование функции двух переменных по треугольнику на плоскости с примерами.
Решена аналогичная линейная задача стандартным методом Гаусса с выбором главного элемента с помощью созданного программного кода на языке программирования Fortran.
Вычислены частные производные на нерегулярной треугольной сетке.
Отлажен алгоритм численного интегрирования по треугольнику с использованием 7-точечной формулы Гаусса и процедура расчета внутренних источников.
Получены результаты расчета степенной жидкости в квадратной каверне c движущейся верхней крышкой.
Таким образом, созданный алгоритм расчета на базе триангуляции области позволяет перейти к моделированию течений неньютоновских сред в областях с произвольной геометрией, в том числе течений со свободной поверхностью.
Изучена теория неньютоновской жидкости, методов граничных элементов и триангуляции области.
Приведены основные дифференциальные и интегральные уравнения с граничными условиями для задачи о течении неньютоновской жидкости в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой.
Описан метод решения данной задачи, основанный на положениях непрямого метода граничных элементов. Осуществлена триангуляция области с помощью генератора DistMesh2D. Подробно рассмотрено численное интегрирование функции двух переменных по треугольнику на плоскости с примерами.
Решена аналогичная линейная задача стандартным методом Гаусса с выбором главного элемента с помощью созданного программного кода на языке программирования Fortran.
Вычислены частные производные на нерегулярной треугольной сетке.
Отлажен алгоритм численного интегрирования по треугольнику с использованием 7-точечной формулы Гаусса и процедура расчета внутренних источников.
Получены результаты расчета степенной жидкости в квадратной каверне c движущейся верхней крышкой.
Таким образом, созданный алгоритм расчета на базе триангуляции области позволяет перейти к моделированию течений неньютоновских сред в областях с произвольной геометрией, в том числе течений со свободной поверхностью.
