Аннотация 2
1 Введение 3
2 Релятивистские волновые уравнения для массивных полей целого спина 4
2.1 Элементарная частица. Условия неприводимости 4
2.2 Лагранжева формулировка уравнений 5
3 Метод вспомогательных полей 7
3.1 Случаи скалярного и векторного поля. Особенности двумерия 7
3.2 Лагранжиан Фирца-Паули для спина два 8
3.3 Лагранжианы Сингха-Хагена для произвольного целого спина 10
4 Системы линейных дифференциальных уравнений 13
4.1 Символ оператора. Эквивалентные операторы 13
4.2 Полнота системы линейных дифференциальных уравнений 15
5 Элементы гомологической алгебры 17
5.1 Комплексы модулей и резольвенты 17
5.2 Теорема Квиллена-Суслина 19
5.3 Коплоские системы без калибровочных симметрий 21
6 Волновые уравнения со вспомогательными полями 24
6.1 Спин два 24
6.2 Спин три 25
6.3 Лагранжевость уравнений в случае спина 2 и 3 27
6.4 Общий случай 28
6.5 Сравнение с Фирцом и Паули 30
7 Предлагранжева форма уравнений без вспомполей 33
8 Заключение 35
Список литературы 36
Исторически первая попытка написать релятивистские волновые уравнения для частиц со спином была предпринята Дираком в его работе [4] 1936-го года. В данной работе предъявлены свободные релятивистские волновые уравнения для частицы произвольного спина, а также было включено электро-магнитное взаимодействие, однако интерпретация результатов работы [4] оказалась сопряжена с рядом трудностей: волновые уравнения не могли быть получены из принципа наименьшего действия, а при введении взаимодействия становились несовместными. Для решения этих проблем в 1939 году Фирцом и Паули [5] был предложен метод, подразумевающий включение в систему вспомогательных неизвестных, которые с необходимостью обращаются в нуль на решениях уравнений. С использованием этого метода были предъявлены для частицы спина 2 лагранжевы уравнения для свободного случая, а также проведено включение взаимодействия, не нарушающее совместность системы. В 1973 году этот метод был обобщён на случай произвольного целого спина в работе Сингха и Хагена [9]. Согласно этой работе, для построения лагранжевых уравнений частицы произвольного спина s, необходимо включить вспомогательные тензорные поля рангов от 0 до s — 2 включительно.
Интерес к исследованию массивных полей высших спинов связан с развитием физики гравитационных волн, в частности, как оказалось, динамику вращающихся чёрных дыр можно описывать с помощью древесных амплитуд массивных частиц высших спинов [8, 7, 2, 3]. Значение этой теории также обусловлено возникновением массивных частиц с неограниченно большим значением спина в спектре колебаний релятивистской струны [6].
В данной работе на основе гомологической алгебры исследуется алгебраическая структура релятивистских волновых уравнений массивных полей целого спина. В частности, формулируются некоторые общие критерии существования лагранжевой формы для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Особенное внимание уделяется случаю ко-плоских теорий, под которые попадают и уравнения частиц целого спина, для последних построены лагранжевые формулировки, включающие в себя меньшее число вспомогательных полей, чем предлагается в работе [9]. Также для случая массивных высших спинов описывается альтернативная лагранжева формулировка, не предполагающая включение в систему вспомогательных полей. Полученные уравнения без вспомогательных полей исследуются на лоренц-инвариантность, для спина 2 показано, что она отсутствует в явном виде.
В заключение перечислим основные результаты и выводы работы. Их три.
1. Показано, что в случае отсутствия калибровочных симметрий и неприводимости матрицы тождеств, приведение системы к предлагранжевой форме с использованием вспомогательных полей возможно только для ко-плоских теорий, тогда вопрос сводится к исследованию матрицы тождеств на унимодулярность. Частным случаем ко-плоской теории являются массивные частицы целого спина, для них предъявленный способ включения вспомогательных полей позволяет универсальным образом включить в систему лишь одно вспомогательное тензорное поле. Для спина 2 полученные уравнения с векторным вспомогательным полем оказались полностью эквивалентны уравнениям Фирца-Паули
[5] со скалярным полем.
2. С использованием теоремы Квиллена-Суслина [1] в случае ко-плоской теории без калибровочных симметрий и неприводимой матрицы тождеств, была сформулирована альтернативная лагранжева формулировка, не требующая введения дополнительных неизвестных. Была продемонстрирована эквивалентность таких уравнений уже известным в случае спина 1. Для спина 2 было показано, что уравнения, полученные таким образом, не обладают явной лоренц-инвариантностью в размерности выше двух.
3. Меньшее число вспомогательных полей по сравнению с лагранжинами Сингха и Хагена позволяет надеяться, что найденные в работе уравнения окажутся более удобными для последующего включения взаимодействия с внешними калибровочными полями.
