Введение 3
1 Основные инструменты теории вероятностей 5
1.1 Основные понятия 5
1.2 Условное математическое ожидание 5
1.3 Марковские моменты 8
2 Стохастические исчисления 11
2.1 Мартингалы 11
2.2 Винеровский процесс 12
2.3 Стохастический интеграл. Интеграл Ито 15
2.4 Теорема о представлении мартингалов 18
3 Финансвый рынок 20
3.1 Основные структуры 20
3.2 Модель Блэка-Шоулса 22
3.3 Некоторые понятия из теории арбитража 23
3.4 Постановка задачи 24
3.5 Построение хеджирующей стратегии 25
4 Численное моделирование 27
Заключение 29
Список используемых источников 30
Финансовые рынки, представляющие собой основу рыночных отношений, являются важными показателями состояния экономики в целом. Составной частью финансового рынка является рынок ценных бумаг, на котором происходит перераспределение денежных средств с помощью таких финансовых инструментов, как ценные бумаги. Существует большое количество видов ценных бумаг таких, как облигации, акции, опционы, фьючерские контракты и варранты .
Расчет рыночной стоимости, распределение ресурсов между финансовыми активами, а также определение времени, в которое наиболее выгоднее купить (продать) и предъявить к исполнению ценные бумаги являются одними из основных задач финансовой математики .
Первые ценные бумаги появились еще в древние времена в виде долговых расписок. В 13-14 века появились переводные векселя, которые способствуют развитию мировой торговли .
В Антверпене в 1531 г была создана первая биржа. На ней совершались сделки не только с товарами, но и с ценными бумагами. В 17 веке начались массовые фондовые операции и были в значительной степени связаны с деятельностью английской Ост- Индийской и голландской Объединенной Ост-Индийской компаний, которые были созданы в начале 17 века .
Первая фондовая биржа была создана в 1611г. в Амстердаме. Изначально на биржах обращались государственные облигации. Затем были созданы акционерные общества, и стали обращаться акции. Значение и роль рынка ценных бумаг со временем только возрастала. Появлялись и появляются все новые и новые виды ценных бумаг .
Л. Башелье был первым, кто для описания динамики цен акций обратился к моделям случайных блужданий и их предельным образованиям, которые, есть не что иное, как броуновское движение. Считая, что цены акций изменяются как броуновское движение, он провел ряд расчетов для стоимостей некоторых опционов и после сравнил их с ценами на рынках .
П. Самуэльсон заметил, что использование винеровского процесса в линейной модели Башелье нельзя назвать удовлетворительным, поскольку цены могут принимать отрицательные значения. В 1965 г. П. Самуэльсон ввел геометрическую (также называют - экономической) модель броуновского движения. Именно данная модель и стала основой модели Блэка-Мертона-Шоулса, которая связана с формулой Бл- эка-Шоулса для рациональной стоимости опциона купли европейского типа, выведенная в 1973 году .
Идея рациональной стоимости Блэка-Шоулса заключалась в том, что эта стоимость должна быть той минимальной величиной начального капитала, которая давала бы продавцу опциона возможность построить хеджирующий портфель .
...
При решении этой задачи были изучены основные понятия и свойства стохастических финансовых моделей в непрерывном времени. В работе впервые получены формулы для расчета справедливой стоимости и построения хеджирующей стратегии для европейского опциона купли модели Блэка - Шоулса с учетом потребления. Также были приведены результаты численного моделирования. Дальше мы будем вести исследования, когда коэффициент изменчивости ц и волатильность а - случайные процессы.
