Введение 3
1. Некоторые необходимые сведения из теории непрерывных отображений 4
2. Основные результаты 11
2.1 Необходимые сведения из математического анализа 11
2.2 Определение отображения с s-усредненной характеристикой 12
2.3 Сферический модуль 13
2.4 Свойства сферического модуля 15
3. Теоремы искажения модулей 18
Заключение 25
Библиографический список 27
Нашей задачей является изучение свойств введенного авторами определения сферического модуля семейств кривых, доказательство теорем об искажении модуля семейств кривых при отображениях с s-усредненной характеристикой обобщающих квазиконформные.
Теория квазиконформных отображений возникла в конце ХХ века. Ее зарождение было обусловлено потребностями развития комплексного анализа. И нашла широкое применение для решения классических задач динамики сплошных сред. Например, задача о волновом движении тяжелой жидкости, задача о струйном обтекании контура и др. Эта теория связана с разнообразными ветвями математики (топологией, уравнениями с частными производными, алгеброй), а также с приложениями (газовая динамика, теория упругости и т. д).
Основателями этой теории являются Г. Грёч и М.А. Лаврентьев, которые ввели понятие квазиконформного отображения, обобщающее классическое понятие квазиконформного отображения на плоскости. Понятие пространственного гомеоморфного квазиконформного отображения было введено М.А. Лаврентьевым в 1938 году.[1] Изучение класса пространственных квазиконформных отображений представляет особый интерес, это связано с тем, что класс пространственных квазиконформных отображений достаточно широк по сравнению с классом конформных отображений на плоскости.
Начало интенсивных исследований в этой области относится к концу 50-х и началу 60х годов. Одна из причин была в том, что методы, развитые для исследования плоских квазиконформных отображений, оказались бедными и непригодными для изучения пространственных квазиконформных отображений. Поэтому появилась необходимость в создании новых методов.
Таким образом, метод модулей стал одним из основных при изучении пространственных и квазиконформных отображений Определение модуля семейства кривых на плоскости было введено в 1950 г. Альфорсом и Берлингом [2], а затем распространено на многомерные пространства Фугледе [3] и Б. В. Шабатом [4]. С помощью теорем об искажении модуля семейств кривых, было сформулировано одно из эквивалентных описаний квазиконформных отображений, в связи с чем метод модулей приобрел важное значение в работе с такими классами отображений. Необходимость в таком подходе была вызвана отсутствием в многомерных пространствах теоремы Римана.
Основные результаты в изучении метода модулей описаны в работах М.А. Лаврентьева, Б.В. Шабата, П.П. Белинского, Ю.Г. Решетняка, В.А. Зорича, Г.Д. Суворова, А.В. Сычева, И.П. Митюка, В.М. Гольдштейна, В.В. Кривова, В.М. Миклюкова, С.Л. Крушкаль, Б.Ф. Куфарева, В.В. Асеева, С.К. Водопьянова, А.П. Копылова, Л. Альфонса, Ф. Геринга, О.Мартио, С. Рикмана, Ю. Вяйсяля, М. Вуоринена, Г. Андерсона, Р. Някки, Кругликова, А.Н. Малютиной.
Таким образом, введен сферический модуль семейства кривых, доказаны его свойства и доказаны теоремы об искажении модуля. Теперь появилась возможность представления геометрического определения модуля семейств кривых, доказательства эквивалентности аналитического и геометрического определений.
Результаты выпускной квалификационной работы были представлены на следующих конференциях:
1.A. Новик., А.Н. Малютина. Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, её приложений и смежные вопросы // Материалы Тринадцатой Казанской летней научной школы - конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ,2017ю-Т.54- 420 с.
2.A. Новик., А.Н. Малютина. Геометрические свойства отображений с s-усредненной характеристикой. // Прикладные задачи математики. Материалы XXVI международной научно-технической конференции. Севастополь. 2018. С. 152-155.
3.A. Новик., А.Н. Малютина. Модуль семейства кривых//Всероссийская молодежная научная конференция "Все грани математики и механики". Томск.2017. С.27
4.A. Новик., А.Н. Малютина. Геометрический метод изучения свойств модуля// Математика. Материалы 56-й международной научной студенческой конференции. Новосибирск. 2018.С.43
5.A. Новик., А.Н. Малютина. Геометрический метод изучения свойств негомеоморфных отображений. // Всероссийская молодежная научная конференция "Все грани математики и механики". Томск.2018.
6.A. Новик., А.Н. Малютина. Геометрический метод изучения аналитических свойств негомеоморфных пространственных отображений. // Всероссийская молодежная научная конференция "Все грани математики и механики". Томск.2019.
A. Новик., А.Н. Малютина. К аналитическому определению отображения с s-усредненной характеристикой//Математика. Материалы 57-й международной научной студенческой конференции. Новосибирск. 2019.С.45
Библиографический список
