ВВЕДЕНИЕ 3
1.Обзор литературы по проблеме моделирования оттаивания вечной мерзлоты 5
2. Постановка задачи 7
3. Нестационарная одномерная теплопроводность 9
4. Исследование аппроксимации 13
5. Устойчивость разностной схемы 17
6. Метод прогонки 19
7. Приближённое решение задачи Стефана 22
8. Двухфазная задача. Сравнение с экспериментом 24
Заключение 29
Список использованной литературы 30
Приложение А. Программа решения методом контрольного объёма 32
Приложение Б. Программа решения методом ловли фронта в узел сетки 34
Приложение В. Приближённое аналитическое решение 36
Грунт — любые горные породы, почвы, осадки, техногенные образования, представляющие собой многокомпонентные динамические системы, являющиеся компонентами геологической среды и объектом инженерно-хозяйственной деятельности человека. Как и любая другая физическая среда, грунт может быть характеризован различными физико-химическими параметрами такими как температура, влажность, её химический состав.
Во время различных температурных режимов, которые возникают под действием окружающей среды (такие как смена сезона, катаклизмы), грунт также меняет свои свойства. Во время последнего ледникового периода, когда среднегодовая температура планеты упала до низких температур на довольно долгий период времени (900-630 млн. лет назад) на многих участках планеты грунт промёрз настолько, что после исчезновения ледника, грунт остался оледенелым.
За последние 200 лет человек успел освоить земли, в которых присутствует вечная мерзлота, построить города и разработать добычу полезных ископаемых, построить средства коммуникации и связи. В связи с тем, что среднегодовая температура начала повышаться возникает риск оттаивания многолетнемёрзлых грунтов и нанесения ущерба как экономике человека(сельское хозяйство и нефтедобыча) так и изменению ландшафта и выброс парниковых газов и воды [6].
Так как в процессе промерзания оттаивания образуются две фазы — твёрдая и жидкая, то к данному физическому процессу применима задача Стефана. Задача Стефана представляет собой особый вид краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных, описывающая изменение фазового состояния вещества, при котором положение границы раздела фаз изменяется со временем.
Следует указать на статью [5], в которой указывается, что площадь России составляет около 65% многолетнемёрзлых грунтов, и их оттаивание может нанести катострофические последствия для таких городов, как Магадан, Андырь, Якутск, Мирный, Воркута, Норильск, Игарка, Надым и так далее.
Целью данной работы является получение численного решения нестационарной одномерной задачи теплопроводности с эффективными теплофизическими свойствами моделирующими многолетний режим оттаивания-промерзания грунта, численное решение задачи Стефана для случая промерзания воды, получаемое методом ловли фронта.
В данной работе было рассмотрено численное решение одномерного уравнения теплопроводности на модели многолетнемёрзлого грунта. В процессе рассмотрения особое внимание уделено моделированию фазового перехода с эффективными свойствами. Была рассмотрена простейшая модель грунта — однородного. В реальных условиях базовые теплофизические параметры (плотность, теплоёмкость, и температуропроводность) изменяются в зависимости от номера слоя.
Проведено исследование аппроксимации разностной схемы, согласно определению. Устойчивость разностной схемы проверялась по спектральному признаку фон Неймана. Для получения разностного аналога использовался метод контрольного объёма и в качестве альтернативного численного метода решения задачи Стефана был затронут метод ловли фронта.
