Введение 3
1 Принципы и методы теории струн 5
1.1 Квантование теории струн 5
1.2 Преобразование Вейля 7
1.3 Метод фонового поля для нелинейной сигма-модели 8
2 Действие для открытой струны 10
2.1 Разложение действия в ряд по нормальным координатам 10
2.2 Однопетлевое эффективное действие 11
3 Расходимости 12
3.1 Условие на функцию Грина 12
3.2 Функция Грина на мнообразии с границей 14
3.3 Функция Грина на мнообразии без границы. Расходимости 16
3.4 Расходимость следа 18
4 Перенормировка фоновых полей 19
5 Заключение 21
6 Приложение 22
6.1 Используемые соотношения 22
Данная работа посвящена изучению модели струны в фоновом массивном поле спина 2. Безмассовые фоновые поля в теории струн позволяют изучать взаимодействия в низкоэнергетических приближениях, что дает возможность связать теорию струн с двумерной квантовой теорией поля. Такой подход позволяет прийти к уравнениям струнной гравитации, которые могут быть использованы для поиска и изучения некоторых новых космологических решений. Из инвариантности относительно преобразований Вейля следует равенство нулю следа тензора энергии импульса. Данный факт позволяет нам использовать инвариантность Вейля для перенормированного тензора энергии-импульса для нахождения каких то соотношений на фоновые поля, которые могут быть проинтерпретированы как уравнения движения. Общий анализ перенормированного оператора энергии-импульса для бозонной струны, взаимодействующей с фоновыми полями дан в работах [1, 2, 3]. Естественным было бы изучить и массивные модели в теории струн, взаимодействующих с фоновыми полями. Однако, в этом случае мы приходим к проблемной ситуации, если включить в теорию любое количество фоновых массивных полей, то мы получим неперенормируемую теорию, которая требует включения бесконечного числа контрчленов. Лишь в случае рассмотрения поля тахиона не требуется включение бесконечного числа контрчленов, но теория с тахионным полем требует непертрубативного изучения (см. [4, 5, 6, 7, 8, 9]). Однако, если обобщить сигма-модельный подход к теории струн в безмассовых фоновых полях до массивного случая, то, как может быть показано в работе [10], в рамках одного массивного уровня допускается конечное число контрчленов. Для перенормировки первого массивного уровня можно использовать фоновые поля этого уровня, плюс безсмассовые. В таком случае, рассматривая конечное количество массивных уровней, можно получить перенормировку действия, по крайней мере для замкнутых струн. Иначе говоря, перенормировка фоновых полей любого массивного уровня требует рассмотрения только фоновых полей этого уровня. В дальнейшем - логичным шагом было бы включить в рассмотрение и случай открытой струны в фоновых массивных полях. Для этого нужно рассматривать теорию поля в пространстве с границей. Некоторый обзор методов вычислений в рамках теории открытых струн может быть изучен в работах [11, 12], подробно изучена теория открытых струн в случае безмассовых фоновых полей в работах [13, 14, 15]. Изучение квантовой теории поля на многообразиях с границей рассмотрено в работах [16, 17].
В данной же работе рассматривается сигма-модельный подход к описанию открытой струны, взаимодействующей с фоновым массивным полем спина 2 и с фоновым безмассовым полем спина 2 (гравитоном). Исходя из инвариантности относительно преобразований Вейля для свободной струны, естественным будет потребовать инвариантность относительно преобразований Вейля и для теории, взаимодействующей с фоновыми полями. Исходя из этого, можно показать, что след тензора энергии-импульса данной модели должен обращаться в ноль, из чего можно получить некоторые соотношения на фоновые поля, интерпретируемые как уравнения движения. Нахождение этих урав¬нений движения позволит связать квантовую теорию поля с теорией струн. Здесь мы, однако, ограничимся нахождением расходимостей однопетлевого действия и перенормировками. В первой главе мы изучим непосредственно само действие для открытой струны с фоновыми полями, построим однопетлевое эффективное действие и получим разложение в ряд действий для струны по нормальным координатам. В дальнейшем данные разложения подставим в эффективное действие. В следующей же главе мы определим расходящуюся часть эффективного действия, изучая расходимости членов, входящих в него. В основном это будет работа с расходимостями функции Грина. Получив расходящуюся часть, в следующей главе мы определим перенормировку фоновых полей. В приложение вынесены некоторые промежуточные вычисления и необходимые формулы.
Мы рассмотрели в данной работе действие для струны в фоновых массивных полях спина 2, построили эффективное действие и рассмотрели его расходимости, а так же построили его перенормировку.
В первой главе мы изучили непосредственно само действие, рассмотрели его разложение по нормальным координатам и построили эффективное действие, выразив его через функцию Грина. Это позволило нам изучая поведение функции Грина, изучать поведение самого эффективного действия.
В последующей главе мы рассмотрели непосредственно расходимости функции Грина. Для этого мы нашли условие на функцию Грина, воспользовавшись уравнением свобод-ной струны и разложением действия по нормальным координатам. В дальнейшем мы воспользовались преобразованиями Фурье, чтобы найти сами расходимости функции Грина в нулевом, первом и втором приближении.
В третьей главе мы собственно, нашли контрчлены и построили переномированное действие.
В дальнейшем планируется произвести перенормировку следа тензора энергии- импульса и, приравняв его нулю, получить уравнения движения для массивного поля спина 2.
